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四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义:11.模为素数的二次剩余

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dp?12??1(modp).

3. 若素数p?2,证明:?1是模p的二次剩余的充要条件是p?1(mod4).

??p?1??当p?1(mod4)时,????!???1(modp).

2????证明:由Euler判别法知道?1是模p的二次剩余的充要条件是(?1)又p?2,所以(?1)p?12p?122?1(modp).

?1.即p?1(mod4).

由Wilson定理,(p?1)!??1.

p?1p?1?1?(p?1)!?(?)(??1)222p?1p?1p?1??p?1??(?1)1(?1)?(?1)2???!?(modp)

22??2??2??p?1??当p?1(mod4)时,????!???1(modp).

??2??4.设p是奇素数,证明:1,2,?j2?p(p?1),p?1中全体模p的二次剩余之和S??p???.

24j?1?p?p?122p?12?j2?p(p2?1)p(p?1)由此可以证明当p?1(mod4)时,p?????.

244j?1?p?证明:因为d是模p的二次剩余当且仅当d?1,2,(p?1p?12?1)2,()(modp). 22?j2?p?1设j?pqj?rj(1?rj?p),1?j?.则qj???.

2?p?2p?12j?1p?12j?1于是S??r??jp?1p?1p?1p?1(?1)(p?1?1)22222?2??j??j?p(p?1)j222j?p?????p?????p???.

624j?1?p?j?1?p?j?1?p?p?12?j2?p(p2?1)?S. 若p?1(mod4),则p????24j?1?p?因为p?1(mod4),由Euler判别法知道rj与p?rj同为二次剩余或非二次剩余. 又在模p的一个既约剩余系中,恰好有

p?12pp?1p(p?1)p?1个模p的二次剩余,所以S???.

2242?j2?p(p2?1)p(p?1)于是p?????.

p244j?1??p?12

四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义:11.模为素数的二次剩余

dp?12??1(modp).3.若素数p?2,证明:?1是模p的二次剩余的充要条件是p?1(mod4).??p?1??当p?1(mod4)时,????!???1(modp).2????证明:由Euler判别法知道?1是模p的二次剩余的充要条件是(?1)又p?2,所以(?1)p?12p?122?1(modp).?1.即p?1(
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