由函数f(x)?3sin(?x??)?cos(?x??)?2sin(wx???因为函数f?x?周期为?，且函数f?x?是奇函数， 可得w??6)
2???2，且???6?0，解得??
π
，即f(x)?2sin(2x)， 6
把f?x?的图象向右平移令???个单位得到函数g(x)?2sin(2x?)的图象， 63?2?2k??2x??3??2?2k?,k?Z，解得
??12?k??x?5??k?,k?Z， 12??5??fx. 令k?0，可得函数??的一个单调递增区间为??,??1212?故选：B. 【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10．已知数列?an?满足an?1?an?2n,n?N.则
?a?ai?2in1?( )
1A．
11? n?1nB．
n?1 nC．n(n?1)
D．
1 2n【答案】B
【解析】首先利用累加法求出an?a1??n?1?n，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】
解：因为an?1?an?2n,n?N，
所以a2?a1?2?1，a3?a2?2?2，a4?a3?2?3，……，an?an?1?2??n?1? 所以?a2?a1???a3?a2??L??an?an?1??2?1?2?2?L?2??n?1???n?1?n 所以an?a1??n?1?n 所以
11111????L? ?a?a1?22?33?4n?1?n??i?2i1n第 6 页 共 21 页
1111111?1??????L??
22334n?1n1?1?
nn?1 ?n故选：B 【点睛】
本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.
x2y211．在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，A,B分
abQ两点，别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，连接PB交y轴于点E，
连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为( )
A．
2 2B．
1 2C．
1 3D．
1 4【答案】C
【解析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。 【详解】
如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所以ME//BQ. 因为△PME∽△PQB，所以
PEEBOFOB?PMMQEPEB，
因为△PBF∽△EBO，所以
?，从而有
PMMQ?OFOB，
又因为M是线段PF的中点，所以e?本题选择C选项.
PM1cOF???. aOBMQ3
【点睛】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见
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有两种方法：
①求出a，c，代入公式e?c； a②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
212．已知函数f(x)满足xf?(x)?2xf(x)?1?lnx,f(e)?1.当x?0时，下列说法：e①f???e ；②f(x)只有一个零点；③f(x)有两个零点；④f(x)有一个极大值.其中正确的是( ) A．①③ 【答案】D
2lnx?c，【解析】令g(x)?xf(x)，求导后结合已知可得g(x)?xg得到f(x)??1??e?B．②③ C．①④ D．②④
xglnx?c，x2再由f?e??lnx11求得c=0．可得f(x)?，求出f()的值判断①；再由导数求得极值
eex判断④；由极大值大于0，且当x?0?时，f(x)???，当x???时，f(x)?0判断函数零点个数，可得②正确；③错误． 【详解】
解：令g(x)?xf(x)，
则g?(x)?x2f?(x)?2xf(x)?1?lnx， ?g(x)?xglnx?c， ?f(x)?Qf?e???f(x)?xglnx?c， x2e?c1?，?c?0． e2exglnxlnx?， x2x211e??e则f()?，故①错误；
1eeln?f?(x)?1?lnx， x2当x?(0,e)时，f?(x)?0，f(x)为增函数， 当x?(e,??)时，f?(x)?0，f(x)为减函数，
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?f(x)的极大值为f?e??lne1??0，故④正确； ee而当x?0?时，f(x)???，当x???时，f(x)?0，
?f(x)只有一个零点，故②正确；③错误． ?其中正确的是②④．
故选：D． 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，属于中档题．
二、填空题
13．已知函数f(x)?4?loga(2x?3)（a?0且a?1）的图象恒过定点P，且点P在函数g(x)?x?的图象上，则??______. 【答案】2
【解析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，即为定点P的坐标，再代入函数g(x)的解析式即可求出?的值． 【详解】
解：令2x?3?1得：x?2，此时f?2??4，
?函数f(x)?4?loga(2x?3)(a?0且a?1)的图象恒过定点(2,4)，即P(2,4)，
又Q点P在函数g(x)?x?的图象上，
?2??4，
???2，
故答案为：2． 【点睛】
本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14．已知数列?an?为等差数列，a1,a2,a5?成公比不为1的等比数列，且a9?4，则公差d?_____. 【答案】
8 17【解析】由等比数列的定义和中项性质，可得公差d不为0，结合等差数列的通项公式，
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解方程可得所求d． 【详解】
解：由数列{an}为等差数列，a1，a2，a5成公比不为1的等比数列，
2可得a1a5?a2，即a1(a1?4d)?(a1?d)2，且d?0，
化为2a1?d，
由a9?4，可得a1?8d?4， 解方程可得a1?故答案为：【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
48，d?， 17178． 17rrurrr?15．已知平面向量a与b的夹角60，且|a|?2,|b|?1.若平面向量m满足
urvvvv，则|m|?______. m?a?2m?b?2【答案】
23 3rr【解析】考虑到平面向量a与b的夹角和模长都属于特殊值，不妨采用坐标的方式进行
运算，设平面向量m?(x,y)，向量b?(1,0)，则a?(1,3)，然后将其代入等式中，并结合数量积的坐标运算法则，可建立关于x和y的方程组，解之可得向量m，进而可求得其模长． 【详解】
解：设平面向量m?(x,y)，向量b?(1,0)，则a?(1,3)，
urrrururrrQmga?2mgb?2，
urrurr?x?3y?2x?2，
解得x?1,y?ur3， 3123?． 33?m?x2?y2?1?故答案为：
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2024届辽宁省辽南协作校高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)
