普通高等学校招生全国统一考试（全国III）
理科数学
（试题及答案解析）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
221．已知集合A?(x,y)x?y?1，B??(x,y)y?x?，则AIB中元素的个数为（）
??A．3 【答案】B
B．2 C．1 D．0
【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，
故AIB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AIB元素的个数为2，故选B.
2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z?（）
1A．
2 B．2 2 C．2 D．2
【答案】C 【解析】由题，z?
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
2i?1?i?2i2i?2???i?1，则z?12?12?2，故选C. 1?i?1?i??1?i?2
2014年 2015年 2016年
根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.
5334．(x?y)(2x?y)的展开式中xy的系数为（）
A．??? 【答案】C
B．???
C．40 D．80
33【解析】由二项式定理可得，原式展开中含xy的项为
23333x?C5?2x???y??y?C35?2x???y??40xy，则xy的系数为40，故选C.
2332
x2y2x2y25?1x，且与椭圆?5．已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y?ab1232有公共焦点．则C的方程为（）
x2y2?1 A．?810【答案】B
x2y2?1 B．?45
x2y2?1 C．?54
x2y2?1 D．?43【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?5b5x，则?①
a22x2y2?1与双曲线有公共焦点，易知c?3，则a2?b2?c2?9② 又∵椭圆?123
π6．设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是（）
3x2y2?1，故选B. 由①②解得a?2,b?5，则双曲线C的方程为?45A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x??)的一个零点为x?【答案】D
π 6
B．y?f(x)的图像关于直线x?πD．f(x)在(,π)单调递减
28π对称 3π?π?【解析】函数f?x??cos?x??的图象可由y?cosx向左平移个单位得到，
3?3??π?fx??如图可知，在?,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D.
?2?y???
?-O?6?g???x7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（） A．5 B．4 C．3
D．2 【答案】D
【解析】程序运行过程如下表所示：
S M
t
初始状态
0 100 ?10
1 2 3
第1次循环结束 第2次循环结束
100 90
1
此时S?90?91首次满足条件，程序需在t?3时跳出循环，即N?2为满足条件的最小值，故选D.
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．π 【答案】B
B．
3π 4
πC．
２ D．
π 43?1?【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r?1????，
2?2?22则圆柱体体积V?πrh?23π，故选B. 4
9．等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为（）
A．?24 【答案】A
【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.
B．?3
C．3
D．8
2则a3?a2?a6，即?a1?2d???a1?d??a1?5d?
2又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0，则d??2 ∴S6?6a1?6?56?5d?1?6????2???24，故选A. 22x2y210．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
ab与直线bx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为（） A．6 3 B．3 3 C．2 ３
1D．
3【答案】A
【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切，∴圆心到直线距离d等于半径，
∴d?2aba?b22?a
又∵a?0,b?0，则上式可化简为a2?3b2 ∵b?a?c，可得a?3a?c2222?22?c22，即2?
a3∴e?
c6?，故选A a32x?1?x?111．已知函数f(x)?x?2x?a(e?e)有唯一零点，则a?（）
1A．?
２
1B．
3 C．
1 2 D．1
【答案】C
2x?1?x?1【解析】由条件，f(x)?x?2x?a(e?e)，得：
f(2?x)?(2?x)2?2(2?x)?a(e2?x?1?e?(2?x)?1)?x2?4x?4?4?2x?a(e1?x?ex?1)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)∴f(2?x)?f(x)，即x?1为f(x)的对称轴， 由题意，f(x)有唯一零点，
2020-2021学年全国ⅲ卷数学(理)高考试题及答案解析
