高中数学-打印版
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
1．理解函数的最值的概念．(难点)
2．了解函数的最值与极值的区别与联系．(易混点) 3．会用导数求在给定区间上函数的最值．(重点)
[基础·初探]
教材整理 函数的最大(小)值与导数
阅读教材P29～P31“练习”以上部分，完成下列问题． 1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的________；
(2)将函数y＝f(x)的______与______处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是______，最小的一个就是______．
【答案】 1.连续不断 2.(1)极值 (2)各极值 端点 最大值 最小值
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( ) A．无最值
B．有极值
精心校对完整版
高中数学-打印版
C．有最大值 D．有最小值
【解析】 f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
【答案】 A
[小组合作型]
求函数的最值 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 【自主解答】 (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝k－1.
当x变化时，f(x)与f′(x)的情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，k－1) — 单调递减↘ k－1 0 －ek－1 (k－1，＋∞) ＋ 单调递增↗ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)． (2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k； 当0 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1； 当k－1≥1时，即k≥2，函数f(x)在[0,1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e. 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导 精心校对完整版 高中数学-打印版 数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点． (2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值． [再练一题] 1．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝__________. 【导学号：62952031】 【解析】 f′(x)＝－3x2＋6x，x∈[－2,2]． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 当x∈(－2,0)时，f′(x)<0， 当x∈(0,2)时，f′(x)>0， ∴当x＝0时，f(x)有极小值，也是最小值． ∴f(0)＝m＝1. 【答案】 1 已知函数的最值求参数 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－ 29，求a，b的值． 【精彩点拨】 首先求出f′(x)．然后讨论a的正负，根据函数f(x)的单调性得出用a，b表示的函数的最值，从而列出关于a，b的方程组，求a，b. 【自主解答】 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 精心校对完整版
人教版数学高二选修2-2讲义1.3.3函数的最大(小)值与导数
