大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cn＋1＝Cn＋Cn. 2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cn＝Cn，Cn＝Cn，…，Cn＝Cn.
(2)增减性与最大值：当k＜
0
rr－1
rnn1n－1rn－rn＋1
2
时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半
n2
部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数Cn取得最
n－1
大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数Cn3．各二项式系数的和 (1)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2； (2)Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2
0
2
4
1
3
5
0
1
2
n＋1
2
相等，且同时取得最大值．
2
与Cnnnn－1
.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． (2)二项展开式的二项式系数和为Cn＋Cn＋…＋Cn. (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．
1
2
( ) ( ) ( )
n[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确． (2)× 二项展开式的二项式系数的和应为Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.
(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．(1－2x)的展开式中的各项系数和是( )
【导学号：95032084】
A．1
15
0
1
2
nnB．－1
1
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。C．2
15
D．3
15
B [令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]
3．在(a＋b)二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ) A．第8项 C．第9项
B．第7项 D．第10项
10
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．] 4．(1－x)的展开式中各项的二项式系数分别是( )
【导学号：95032085】
A．1,4,6,4,1 B．1，－4,6，－4,1 C．(－1)C4(r＝0,1,2,3) D．(－1)C4(r＝0,1,2,3,4)
A [杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
rrrr4
“杨辉三角”的应用 如图1-3-1，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
图1-3-1
[思路探究] 由图知，数列中的首项是C2，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，第17项是C10，第18项是C10，第19项是C11.
[解] S19＝(C2＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11＝(C2＋C3＋C4＋…＋C10)＋(C2＋C3＋…＋C10＋C11)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C12＝
[规律方法] “杨辉三角”问题解决的一般方法 观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示： 2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
22
1
2
1
＋2
＋220＝274.
2
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。 [跟踪训练] 1．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
n2－n＋6
2
[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即
2
2
n2－n2
个，因此第n行第3
?n－n＋3?个，即为n－n＋6.]
个数是全体正整数中第??2?2?
求展开式的系数和 设(1－2x)2 01822 018＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2 018·x(x∈R)． (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值.
【导学号：95032086】
[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1.
①
2 018
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝3①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－3
2 018
. ②
，
3
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。1－3
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝
2
rr2 018
.
rrr(3)∵Tr＋1＝C2 018(－2x)＝(－1)·C 2 018·(2x)， ∴a2k－1＜0(k∈N)，a2k＞0(k∈N)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 017| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2024＝3[规律方法] 1．解决二项式系数和问题思维流程． 2 018
*
.
2．对形如(ax＋b)，(ax＋bx＋c)(a，b，c∈R，m，n∈N)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)(a，b∈R，n∈N)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 3．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝[跟踪训练] 2．已知(2x－3)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3).
[解] (1)由(2x－3)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x， 令x＝1得(2－3)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x中， 令x＝1得(2－3)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， ① 令x＝－1得(－2－3)＝a0－a1＋a2－a3＋a4. 所以(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)(2－3)＝(2＋3)(2－3)＝625.
4
4
4
4
2
2
4
44
2
3
4
4
4
2
3
4
2
2
4
2
3
4
2n2m*n*nff＋f－2－f－2， . ②
4
大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。二项式系数性质的应用 [探究问题] 1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
[提示] 对称性，因为Cn＝Cn，也可以从f(r)＝Cn的图象中得到． Cn2．计算k－1，并说明你得到的结论．
CnCnn－k＋1
[提示] k－1＝. CnkCn当k<时，k－1>1，说明二项式系数逐渐增大；
2Cn同理，当k>
kkmn－mrn＋1
kn＋1
2
时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
n－1
[提示] 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn2，
n＋1
Cn2
相等，且同时取得最大值．
322n 已知f(x)＝(x＋3x)展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项.
【导学号：95032087】
[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
[解] 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)＝4，又展开式中各项的二项式系数之和为2.由题意知，4－2＝992.
∴(2)－2－992＝0， ∴(2＋31)(2－32)＝0，
∴2＝－31(舍去)或2＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是 2
32
T3＝C5(x)3(3x2)2＝90x6，
nnnnn2
nnnnnn 5
2024年秋高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
