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椭圆与双曲线常见题型归纳 一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型
例1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,?3),(0,3)的距离之和为4，设点P的轨迹为C,直线
uuuruuury?kx?1与C交于A,B两点。 （Ⅰ）写出C的方程; （Ⅱ）若OA?OB，求k的值。
uuuruuuurx22?y?1的左、右焦点.（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2例2．设F1、F2分别是椭圆4的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围
x2?y2?1的左、右焦点，B(0,?1)．例3． 设F1、F2分别是椭圆（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，4uuuruuuur求PF1?PF2的最大值和最小值;（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且BF1??CF1，求?的值； （Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求?PBF1的周长的最大值.
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例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(3,0)
(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l：y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA?OB?2(其中O为原点)，求k的取值范围。
6x2y2例5．已知椭圆2?2（a＞b＞0）的离心率e?，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原
3ab点的距离为
3．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆2交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
2．“中点弦型”
x2y2?1，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线y?4x?m对称。例6.已知椭圆?
43
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例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e?3，焦距为23
（I）求该双曲线方程.（II）是否定存在过点P(1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB 的中点？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，说明理由.
例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1
，F2（0，
），且离心率
。
（I）求椭圆的方程；（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为
3．“弦长型”
x2例9．直线y＝kx＋b与椭圆?y2?1交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
4，求直线l倾斜角的取值范围。
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
OByAx,.
urrurr例10．已知向量m1 =（0，x），n1=（1，1），m2 =（x，0），n2=（y2，1）（其中x，y是实数），ururrrurrurr又设向量m= m1+2n2，n=m2－2n1，且m//n，点P（x，y）的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求曲线
C的方程；（Ⅱ）设直线l:y?kx?1与曲线C交于M、N两点，当|MN|=
二．“基本性质型”
42时，求直线l的方程. 3x2y2例11．设双曲线C1的方程为2?2?1(a?0,b?0)，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上
ab的任一点，引QB?PB,QA?PA，AQ与BQ相交于点Q。（1）求Q点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2的离心率分别为e1、e2，当e1?2时，求e2的取值范围。
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22xy例12．P为椭圆??1上一点，F1、F2为左右焦点，若?F1PF2?60? 259（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．
x2y24例13．已知双曲线与椭圆??1共焦点，且以y??x为渐近线，求双曲线方程．
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例14.k代表实数，讨论方程kx2?2y2?8?0所表示的曲线.
?3)，，(03)为焦点，长半轴为2的椭圆．它例1. 解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，y2?1．的短半轴b?2?(3)?1，故曲线C的方程为x?（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足 4222?2y22k3?1，?x?22，x1x2??2消去y并整理得(k?4)x?2kx?3?0，故x1?x2??2． 4?k?4k?4?y?kx?1.?
椭圆与双曲线常见题型归纳
