2013
【答案】1-
1
e
【解析】由 X
??
N ?0,1? 及随机变量函数的期望公式知
1 2??e dx ??E ? Xe2X ? ? ??xe2 x ??
x2
? 2
1 2???
???
1
? ?? x?2?2 ?4??
xe 2 ???
??dx ? 2e2 .
???
?
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
1
f (x)
计算
?
0
ln(t ?1)
dx, 其中 f (x) ? ?1 dt
t x
x x
ln(t ?1) dtf (x) ?1 ln(t ?1) 1 1 0 t dx ? ???【解析】 dx ? dxdt??0 x ??0 0 x x x t
1
1
1 ln(t ?1) 1 ln(t ?1) ?ln(t ?1) ?1 dt ? ??dt??dx ? ?2??tdt ? ? 2?0 0 0 0 x t t t
1
t
? ??
t ?t ?
dt ??? ?4 ??ln(t ?1) 0 ? ?0
??t ?1 ??u
? ?4 ln 2 ? 4 1 dt ? ?4 ln 2 ? 4 1 ? 2udu
t ?0 t ?1 ?0 u2 ?1
1 ? 1 u2 ?1?1 1 ??
? ? ?
du ? ?4 ln 2 ? 8?0 ?1? 2 ? du 4 ln 2 ? 8?0 u2 ?1 ? u?1 ??
?
? ?4 ln 2 ? 8?u ? arctan u ? 1 ? ?4 ln 2 ? 8(1? ) ? ?4 ln 2 ? 8 ? 2??0
4 4?0 ln(t ?1)d
1
?
1
1
t
??
（16）（本题满分 10 分）
设数列{a }满足条件： a ? 3, a ? 1, a n 0 1
n?2 a xn 的和函数， ? n(n ?1)a ? 0(n ? 2), S(x) 是幂级数?
??
n
n n?0
（I） （II）
证明： S??(x) ? S(x) ? 0 , 求 S(x) 的表达式.
?
【解析】（I）设 S(x) ?
?a x ， S?(x) ? ?
n
n
n?1 ?
?
a nxn?1 ， S?(x) ?
n
??
?a n(n ?1)xn?2 ，
n
??
n 2
n
n?0 n?2 ?
因为a ? ? n(n ?1)a ? 0 ，因此 S??(x) ?
n 2 n
?a n(n ?1)xn?2 ? ?a ? xn?2 ? ?a xn ? S(x) ；
n
n?2
n?0
n?2
6
（II）方程 S??(x) ? S(x) ? 0 的特征方程为?2 ?1 ? 0 ，
xx解得? ? ?1, ? ? 1，所以 S(x) ? c e? ? c e ，
1
1 1 2
又 a0 ? S(0) ? 3 ? c1 ? c2 ? 3， a1 ? S?(0) ? 1? c1 ? c2 ? 1，
解得c ? 2, c ? ?1，所以 S(x) ? 2e?x ? ex 。
1 2 ?
17（本题满分 10 分） ?
3 x x? y
求函数 f (x, y) ? ( y ??)e 的极值.
3
x3 x? y
x3 x? y 2
f' ? x e ? ( y ? )e ? (x +y+ )e ? 0 ? x 3 3 【解析】??3 3
xx? x?yx?y' ? e ? ( y ??f y )e ? (1+y+ )ex? y ? 0
? 3 3
42
解得(1, ??),(?1, ? ) ，
3 3
3 3 xx? y x 2 x? y 2 2 x? y A ? fxx '' ? (2x ? x )e ? (x ? y ? )e ? ( +2x ? 2x+y)e?33 ?3 x2 x? y 2 x? y
x3 x? y B ? fxy '' ? e +(x ? y ? )e =( +x +y+1)e
3 3?
x3 x? y x 3 x? y x? y
C ? f yy '' ? e ? (1? y ??)e ? ( +y ? 2)e 3 3
?
2 x? y
1 1 1 ???4 23 3 3 对于(1, ??) 点， A ? 3e , B ? e ,C ? e , ? ? AC ? B ? 0, A ? 0,
3
1 ?4 3?(1, ??) 为极小值点，极小值为?e
3
5 5 5 ???2 23 3 3 对于(?1, ??) ， A ? ?e , B ? e ,C ? e , ?=AC ? B ? 0 ,不是极值.
3
（18）（本题满分 10 分）
设奇函数 f (x)在[-1,1]上具有 2 阶导数，且 f (1) ? 1, 证明：
（I） （II）
存在? ?(0,1),使得f '(? ) ?1
存在? ???1,1? ，使得 f ''(?) ? f '(?) ?1
【解析】（1）令 F(x) ? f (x) ? x, F(0) ? f (0) ? 0, F(1) ? f (1) ?1 ? 0,
7
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则?? ??0,1? 使得 F '(? ) ? 0,即f '(? ) ?1 （2）令G(x) ? ex ( f '(x) ?1), 则G(? ) ? 0,
又由于 f (x) 为奇函数，故 f '(x) 为偶函数，可知G(?? ) ? 0 , 则?? ???? ,? ? ? ??1,1?使G '(? ) ? 0,
即e?[ f '(?) ?1] ? e? f ''(?) ? 0 ，即 f ''(?) ? f '(?) ?1 （19）（本题满分 10 分）
设直线 L 过 A(1, 0, 0), B(0,1,1) 两点，将 L 绕Z 轴旋转一周得到曲面?, ?与平面 z ? 0, z ? 2所围成的立体为? ， （I） （II） 求曲面? 的方程 求? 的形心坐标.
【解析】（1） l 过 A, B 两点，所以其直线方程为： 所以其绕着 z 轴旋转一周的曲面方程为：
?
x ?1 ?y ? 0 ?z ? 0 ?x ? 1? z
??? ?
?1 1 1 ??y ? z
x ? y ? (1? z) ? z ? 2 2 2 2
x2 ? y2 2 1 2 3
? (z ? ) ??
2 4
?z(1? z)2 ? z2 ? dz ? zdxdydz ???? ? 7 2 ? ??? 7 ，所以形心坐标为(0, 0, ) （2） 由形心坐标计算公式可得 z ??dxdydz ??? 0??2 2 ?5 5 ? ??? ?0 ?(1? z) ? z ? dz ??
2
（20）（本题满分 11 分）
设 A ? ?1 a ? , B ? ? 0 1 ??，当a, b 为何值时，存在矩阵C 使得 AC ? CA ? B ，并求所有矩阵C 。
?1 0 ?
? ? ? 1 b ??
? ??
【解析】由题意可知矩阵C 为 2 阶矩阵，故可设C ?
?
? x1 x ?
，则由 AC ? CA ? B 可得线性方程组： 2
? x x ??? 3 4 ??
?x2 ? ax3 ? 0 ?? ?ax ? x ? ax ? 1 ?4 ? 1 2
x ? x ? x ? 1 ? 1 3 4 ?? x2 ? ax3 ? b
（1）
8
0 ?1 ?? ?a 1 ? ?? 1 0 0 1 ?
0 ?? 1 0 1 ? ? ?? 0 0 0 0 ?
a 0 ?1 ?a ?1 ?a 0 0
0 0 ? ? 1 a 1 ? ? ?a
? ? ? ?1 1 ?? ?? 0 0 b 0
? ? ?1 1 ??0 1? a ??
????0 1? a ?
0 b ?1? a ?
??
?1 ?1 1 ? ? 1 0 a 1 ? ? 0
? ? ?
?1 a 0 0 ?? ?? 0 1 ?a 0 b 0
? ?
0 1
0 ?1 ?1 1 ??1 ?a 0 1? a ??
??
?1 a 0 0 ???1 ?a 0 b ?
??
由于方程组（1）有解，故有1? a ? 0,b ?1? a ? 0 ，即a ? ?1,b ? 0, 从而有
0 ?? ?a ? ? 1 ? ? 0
?1 a 1 0
0 0 ?1 ? ? ? a 1 0
? ? ?
0 ?1 ?1 1 ? ? 0
? ?
1 ?a 0 b ? ? 0
? k1 ? k2 ?1 ?k1 ??
??k2 ??? k1
0 ?1 ?1 1 ??? x?1 ? k1 ? k2 ?1 ? 1 1 0 0 x ? ?k 1
?，故有??2 , 其中k 、k 任意. 2? 1 0 0 0 0 ??x ? k
3 1 ? ??
?0 0 0 0 ??? x4 ? k2
从而有C ? ?
（21）（本题满分 11 分）
? a1 ?? ? b1 ????? 设二次型 f ? x , x , x ? ? 2?a x ? a x?? a x ?? ?b x?? b x ? b x ?，记? ? a , ? ? b 。
? 2 ? ? 2 ??1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
? a ? ? b ??? 3 ? ? 3 ??
2
2
（I） 证明二次型 f 对应的矩阵为2??T
? ??T ；
（II） 若? , ? 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型2 y2 1 ? y2 2。
【解析】(1)
f ? ( 2a2 ? b2 ) x2 ? ( 2a2 ? b2 ) x2? ( 2a2? b2 ) x2? ( 4a a? 2 b
1
1
1
2
2
2
3
3
3
1 2
1
?( 4a1 a3 ? b1 b3) x1 x??)3 x2 x3 3 ( 4 a2 a3 2 b2 b
? 2a2 ? b2 2a a ? bb 2a a ? bb ? ? a2 a a a a ? ? b2 bb bb ??
1 1 1 3 1 3 1 1 2 1 3 ?1 1 2 1 3 ?22
21 2 a2 ? b1 2a a ? b b 则f 的矩阵为 ? 2a a ? bb ? ? 2 ? a a a2 a a ? ???bb b2 b b ?
1 2 1 2 2 2 2 3 2 3 ? 1 2 2 2 3 ? ? 1 2 2 2 3 ???? 22? 2? ? ? 2a a ? bb 2a a ? b b ? 2a ? b a a a a a bb b b b2 ??
2 3 2 3 3 3 3 ? ? 1 3 2 3 3 ????1 3 1 3 ? ? 1 3 2 3
? 2?? T ? ?? T
（2） 令A=2??T ? ?? T ,则A? ? 2??T? ? ?? T? ? 2?, A? ? 2??T ? ? ?? T ? ? ? ，则 1,2 均为 A 的特征值，又由于r(A) ? r(2??T ? ?? T ) ? r(??T ) ? r(?? T ) ? 2 ，故 0 为 A 的特征值，则三阶矩阵 A 的特征值为 2,1,0，故 f 在正交变换下的标准形为y22 ? y2 1 2
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（22）（本题满分 11 分）
?1 x2
??设随机变量的概率密度为 f (x) ? ? 4
??0
（I） 求 Y 的分布函数 （II） 求概率 P{X ? Y}
0 ? x ? 3 其他
?2 x ? 1 ??
，令随机变量Y ? ?x 1 ? x ? 2 ,
??1 x ? 2 ??
【解析】（1） FY ? y? ? P?Y ? y??
由Y 的概率分布知，当 y ? 1时， FY ? y? ? 0 ； 当 y ? 2 时， FY ? y? ? 1 ；
当1 ? y ? 2 时， FY ? y? ? P?Y ? y? ? P{Y ? 1}? P{1 ? Y ? y} ? P{Y ? 1}? P{1? X ? y}
= P{X ? 2}? P{1 ? X ? y} ?
y 1 1 22xdx ? x?? dx 2 9 1 9 3
8P{X ? Y} ? P{X ? Y , X ? 1}? P{X ? Y ,1 ? X ? 2}? P{X ? Y , X ? 2} ? (2)
27
（23）（本题满分 11 分）
1
? ( y3 ?18) 27
?? 2 ???x
e ,x ? 0,
设总体 X 的概率密度为 f ? x? ? ?? ? x3 其中? 为未知参数且大于零， X 1 , X ，2 XN 为来自总体
?0, 其它. ?
X 的简单随机样本. ?（1） 求? 的矩估计量； ?（2） 求? 的最大似然估计量.
??
2 ??? ??? ?? ? ????x dx ? ??e x d (??) ? ? ，令 EX ?X ，故? 矩估计量为 X . x e ??【解析】(1) EX ? ??xf (x)dx ? ? 3 0 x x0??
?n ? ?? n 2 ? ??? 1 ? xn
?? e i x ? 0 ?? 2n ? e xi x ? 0
i 3i ?i?1 i 3
(2) L(? ) ? ? f (xi ;? ) ? ? i?1 x ? x ??
i?1 其他 0 其他 ?0 i
? ??
当 xi ? 0 时，
ln L(? ) ? 2n ln? ? 3??ln xi ?? ?? 1 i?1 i?1 i x
n
n
10
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
