2013 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
x ? arctan x （1） 已知极限lim ? c ，其中c, k 为常数，且c ? 0 ，则（ ） k
x?0 x1
（A） k ? 2, c ? ??2
（B） k ? 2, c ??1
2 1
（C） k ? 3, c ? ?
3
（D） k ? 3, c ??1
3
【答案】D
1 1 3
x ? (x ? x3 ? o(x3)) x
1??3 ? lim 3 ? c,?k ? 3, c ? 【解析】lim x arctan x ? lim x?0 x?0 x?0 xk xk xk 3
（2） 曲面 x2 ? cos(xy) ? yz ? x ? 0 在点(0,1, ?1) 处的切平面方程为（ ）
（A） x ? y ? z ? ?2 （B） x ? y ? z ? 2 （C） x ? 2y ? z ? ?3 （D） x ? y ? z ? 0
【答案】A
【解析】设 F(x, y, z) ? x2 ? cos(xy) ? yz ? x ，
则 Fx (x, y, z) ? 2x ? y sin(xy) ?1? Fx (0,1, ?1) ? 1；
Fy (x, y, z) ? ?x sin(xy) ? z ? Fy (0,1, ?1) ? ?1 ；
Fz (x, y, z) ? y ? Fz (0,1, ?1) ? 1，
所以该曲面在点(0,1, ?1) 处的切平面方程为 x ?( y ?1) ? (z ?1) ? 0 ， 化简得 x ? y ? z ? ?2，选 A
1
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??1 1
（3） 设 f ( x) ??x ? ,? x ?[0,1]bn ? 2?0 f (x) sin n? xdx(n ? 1, 2,...) ，令 S( x) ? ? bn sin n? x，则 ? ，
2 n?1
?
9
S (??) ? （ ）
4 3
（A） （A）
4 1（B）
4 1
（C） ??
4 3
（D） ?
4
【答案】C
?
x ??1 , 0 ? x ? 1 ??2
【解析】根据题意，将函数在[?1,1]上奇延拓 f (x) ? ??，它的傅里叶级数为 S(x) 它 ?
?? ?x ??1 , ?1 ? x ? 0 ??2 ??
?
是 以 2 为 周 期 的 ， 则 当 x ?(?1,1) 且 f (x) 在 x 处 连 续 时 ， S( x)??
f ( ， 因 此
9 9 11
S(? ) ? S (?? 2 ) S? 1 (? ) ?S ? ( )f? ??
4 4 4 4 4
（4） 设 l : x2 ? y2 ? 1, l : x2 ? y2 ? 2, l : x2 ? 2 y2 ? 2,l : 2x2 ??y2 ? 为四条逆时针的平面曲线，记
1 2 3 4
3
y 3 )dx ? (2x ??x
)dy(i ? 1, 2,3, 4) ，则 MAX (Ii ) ? ( Ii ? ? ( y ??
3 6 li
)
（A） I1
（B） I2
（C） I3
（D） I4 【答案】D
y
3
3
y )dx ? (2x ??x )dy(i ? 1, 2,3, 4) 【解析】 Ii ? ? ( y ??6 3 li
O
1 2 x ? ?? (1? x ? )dxdy
2 D
2
i
y2
2
利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域 D1, D4 上函数为正值，则区域大，积分
大，所以 I4 ? I1 ，在 D4 之外函数值为负，因此 I4 ? I2 , I4 ? I3 ，故选D。
（5） 设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若 AB ? C ，且 B 可逆，则（ （A） 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B） 矩阵 C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C） 矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 （D） 矩阵C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价
）
【答案】（B）
【解析】由C ? AB 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有 A ? CB?1 ，从而 A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。
1 a 1 ? ? 2 0 0 ??? ? ? ? ?
（6） 矩阵a b a 与0 b 0 相似的充分必要条件为
?? ?? 1 a 1 ?? 0 0 0 ????? ? ? ??
（A） a ? 0,b ? 2
（B） a ? 0,b为任意常数
（C） a ? 2,b ? 0
（D） a ? 2,b为任意常数
【答案】(B)
? 1 a 1 ???? 1 a 1 ??? 2 0 0 ????? ? ?
【解析】由于a b a 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而a b a 与0 b 0 相似的
? ? ? ? ? ????1 a 1 ??1 a 1 ??? 0 0 0 ??? ? ? ? ? ??? 1 a 1 ??? ?
充分必要条件为a b a 的特征值为2,b,0 。
? 1 a 1 ????? ??
??
?
? ?1 ?a ?1
又 ?E ? A ???a ? ? b ?a ? ?[(? ? b)(? ? 2) ? 2a2 ]，从而a ? 0,b为任意常数。
?1 ?a ? ?1 （7）设X ，X ，X 是随机变量，且 X ~N(0,1)，X ~N(0,22），X ~ N(5,32 ) ,
1 2 3 1 2 3
Pj ? P{?2 ? X j ? 2}( j ? 1, 2,3), 则（ ）
（A） P1 ? P2 ? P3
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（B） P2 ? P1 ? P3
（C） P3 ? P1 ? P2
（D） P1 ? P3 ? P2
【答案】（A）
N ?5,32 ? 知，
【解析】由 X1
N ?0,1?, X2 N ?0, 22 ?, X 3
p1 ? P??2 ? X1 ? 2? ? P? X1 ? 2? ? 2??2? ?1 ，
p2 ? P??2 ? X2 ? 2? ? P? X2 ? 2? ? 2??1? ?1，故 p1 ? p2 .
由根据 X 3
，故选（A） N ?5,32 ? 及概率密度的对称性知， p 1 ? p 2 ? p 3
（8）设随机变量 X ~ t(n),Y ~ F(1, n), 给定a(0 ? a ? 0.5), 常数c 满足 P{X ? c} ? a ,则 P{Y ? c2} ?（ ） （A）??（B）1???（C） 2??（D）1? 2??【答案】（C）
【解析】由 X ~ t(n),Y ~ F(1, n) 得，Y ? X 2 ，故 PY ? c2
?? ? P ?X 2 ? c 2?? P ?X ? ?c 或X ? c ?? 2a
1
．
二、填空题(9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸指定位置．．．上)． (9)设函数 f (x) 由方程 y ? x ? ex(1?y) 确定，则lim n( f ( ) ?1) ?
n??
n
【答案】1
n??
【解析】lim n( f ( ) ?1) ? lim 1f (x) ?1 x
? f ?(0)
n
x?0
由 y ? x ? ex(1?y)
，当 x ? 0 时， y ? 1
方程两边取对数ln( y ? x) ? x(1? y)
两边同时对 x 求导，得 ?
1
? y? ?1? ? (1? y) ? xy??y ? x
将 x ? 0 ， y ? 1代入上式，得 f ?(0) ? 1
(10) 已知 y1 ? e3x ? xe2x ， y 2 ? ex ? xe2x ， y 3 ? ?xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该
方程的通解为 y ???．
3xx【答案】 y ? C e ? C e ? xe2x 1 2
4
【解析】因 y ? e3x ? xe2x ， y ? ex ? xe2x 是非齐次线性线性微分方程的解，则 y ? y ? e3x ? ex 是它所
1 2 1 2
对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为 yp ? C e 3x ? C e x ，因此该方程的
1 2
通解可写为 y ? C e3x ? C ex
? xe2x
1 2
?x ? sin t (11) 设??? y ? t sin t ? cos t （ t 为参数），则 d 2 y
dx2 t ??????． 4
【答案】 2
【解析】 dy
? sin t ? t cos t ?sin t ? t cos t, dx ? cos t ， dy dt dt dx ? t cos t cos t ??t ， d ( dy dx ) 2 y
? 1 2 ，所以 d
1 ，所以 d y dt dx2 ??cos t
dx2 t ??4 ???2
(12)
??
???
ln x 1
(1? x)2
dx ??
．
【答案】ln 2
【解析】 ????ln x dx ? ???1 ???ln xd ( ) ? ???? ln x ? 1 ???dx 1 (1? x)2 ?1
1? x 1 ?1 x(1? x) 1? x
??? 1 1 ? dx ? [ln x ? ln(1? x)] ?? ? ln ?? ? ln 2 x) dx ???? ??? 1 ?
1 x(1? x 1 ? x ? 1? ?? x ? 1 1
?
1? x ?
（ 13 ）设 A ? (aij ) 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， | A | 为 A 的 行 列 式 ， Aij 为 aij 的 代 数 余 子 式 ，
aij ? Aij ? 0(i, j ?1, 2,3),则 A ?
【答案】?1
【解析】
由a ? A ? 0可知 ATij ij
? ?A*
A ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ai3 Ai3 ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? a3 j A3 j 3
3
? ??a 2 ?2
ij ?
a ij ?
从而有 ?
j ?1 i?1
A ??AT ? ?A* ? ? A 2 ,故 A =-1.
（14）设随机变量X 服从标准正态分布 X ~N(0,1),则 E( Xe2X ) =
。
5 若
2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案
