2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合S?x|x2?5x?6?0，T?x|x?2|?3，则S?T=（ ） A、{x|?5?x??1} B、{x|?5?x?5} C、{x|?1?x?1} D 、{x|1?x?5} 2、正方体ABCD?A1B1C1D1中BC1与截面BB1D1D所成的角是（ ） A、
???????? B、 C、 D、 643223、已知f(x)?x?2x?3，g(x)?kx?1，则“|k|?2”是“f(x)?g(x)在R上恒成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形?1的面积为S1，作?1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为?2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形?3,?4,，其面积相应为S3,S4,，设S1?1,
Tn?S1?S2?A 、
?Sn，则limTn=（ ）
n???643 B 、 C、 D 、2 53225、设抛物线y?4x的焦点为F，顶点为O，M是抛物线上的动点，则值为（ ）
A 、|MO|
的最大|MF|
3234 B 、 C、 D 、3 3336、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r的
一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ）
A、r
B、2r
C、312r
D、315r
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、如图，正方形ABCD的边长为3，E为DC的 中点，AE与BD相交于F，则FD?DE的值是 ．
AFDE168、(x?x?)的展开式中的常数项是 ．（用具体数字
x2BC 第 1 页 共 6 页
作答）
(an?1)29、设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn?，则S20的值为 ．
410、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角A,B满足tan(A?B)?2tanA，则tanB的最大值是 ． 12、从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数abcde，满足条件“a?b?c?d?e”的概率是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、设函数f(x)?sinx?3cosx?1， （I）求函数f(x)在[0,?2]上的最大值与最小值；
bcosc的值． a（II）若实数a,b,c使得af(x)?bf(x?c)?1对任意x?R恒成立，求
14、已知a,b,c?R，满足abc(a?b?c)?1，
（I）求S?(a?c)(b?c)的最小值； （II）当S取最小值时，求c的最大值．
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?
15、直线y?kx?1与双曲线x?y?1的左支交于A、B两点，直线l经过点(?2,0)和AB 的中点，求直线l在y轴的截距b的取值范围．
n216、设函数fn(x)?x(1?x)在[,1]上的最大值为an（n?1,2,3,2212）．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求证：对任何正整数n(n?2)，都有an?1成立；
(n?2)2（III）设数列{an}的前n项和为Sn，求证：对任意正整数n，都有Sn?
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7成立． 16
2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7、?232 8、?5 9、0 10、14 11、 12、
4215三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分） 13、解：（I）由条件知f(x)?2sin(x?由0?x??3)?1， （5分）
5?1?，于是?sin(x?)?1
233623?1所以x?时，f(x)有最小值2??1?2；
22?知，
??x???当x?
?6
时，f(x)有最大值2?1?1?3． （10分）
（II）由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b?1对任意的x?R恒成立， 33∴2asin(x????)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b?1)?0 333??∴2(a?bcosc)?sin(x??)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0
33??a?bcosc?0?∴ ?bsinc?0, （15分）
?a?b?1?0?由bsinc?0知b?0或sinc?0。
若b?0时，则由a?bcosc?0知a?0，这与a?b?1?0矛盾！ 若sinc?0，则cosc?1（舍去），cosc??1，
1bcosc,c?(2k?1)?，所以，??1． （20分） 2a1214、解：（I）因为(a?c)(b?c)?ab?ac?bc?c?ab?(a?b?c)c?ab? （5分）
ab解得a?b? ?2ab?1?2，等号成立的条件是ab?1， ab2?1时，S可取最小值2． （10分）
当a?b?1,c?（II）当S取最小值时，ab?1，从而c(a?b?c)?1，
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2即c?(a?b)c?1?0，令t?a?b，则t?2ab?2 （15分）
?t?t2?4?t?t2?4?0（舍去） 从而c?或者c?22?t?t2?42故 c?在t?[2,??)单减， ?22t?4?t所以在t?2时，c有最大值2?1． （20分） 15、解：将直线y?kx?1与双曲线x?y?1方程联立得?2222?y?kx?1?x?y?122
化简得(k?1)x?2kx?2?0① （5分）
????4k2?8(k2?1)?0?2k??0，解得1?k?2．由题设知方程①有两负根，因此?x1?x2??2（10分） k?1?2?x?x??0122?k?1?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1?x2??2k， k2?12k22y1?y2?k(x1?x2)?2??2?2??2
k?1k?1k1,?)， 22k?1k?1?1?2所以直线l方程为y?，其在轴的截距，（15分） (x?2)?by2k2?k?22k2?k?212172当1?k?2时，2k?k?2?2(k?)?，其取值范围是(?1,2?2)
48?2所以b?的取值范围是(??,?2?2)(2,??)． （20分） 22k?k?2故AB的中点为(?'n?12nn?116、解：（I）fn(x)?nx(1?x)?2x(1?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]，
n， （5分） n?2n11111??[,1]，又f1()?，fn(1)?0，故a1?； 当n?1时，
n?232288n11111??[,1]，又f2()?，fn(1)?0，故a2?； 当n?2时，
n?22221616'当x?[,1]时，由fn(x)?0知x?1或者x?12第 5 页 共 6 页
n1?[,1]， n?221nn∵x?[,)时，fn'(x)?0；x?(,1)时，fn'(x)?0；
2n?2n?2当n?3时，
nn224nnn)()?∴fn(x)在x?处取得最大值，即an?( n?2n?2(n?2)n?2n?2?1?8,(n?1)?综上所述，an??． （10分）
n?4n,(n?2)n?2?(n?2)?4nn12n?（II）当n?2时，欲证 ，只需证明(1?)?4 n?22(n?2)(n?2)n212222n?Cn?()n
nnnn(n?1)4 ?1?2??2?1?2?1?4
2n∵(1?)?Cn?Cn?()?Cn?()?n012n所以，当n?2时，都有an?1成立． （15分）
(n?2)2（III）当n?1,2时，结论显然成立； 当n?3时，由（II）知Sn? ?11??a3?a4?8161111????8165262?an ?1
(n?2)211111111??(?)?(?)??(?) 8164556n?1n?21117 ????．
8164167所以，对任意正整数n，都有Sn?成立． （20分）
16 ?
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2012年全国高中数学联赛预赛试题及答案
