2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集
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浙江大学数学分析试题答案
一、???0,?N,当n?N时，?m?N,n?N,an?am??
证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列
{ank}，liman?a，
k??k所以，
an?a?an?ank?ank?a?2?
二 、???0,?N,当x?N时，f(x)?g(x)??，???0,??1?0,当x'?x''??1时，
f(x')?f(x'')??
对上述??0,当x',x''?N时，且x'?x''??1
g(x')?g(x'')?f(x')?g(x')?g(x'')?f(x'')?f(x')?f(x'')?3?
当x',x''?N时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以???0,??2?0,x'?x''??2时
g(x')?g(x'')??，当x'?N?x''时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在
x',x''?[N??2,N??2]时，g(x')?g(x'')??，取??min{?1,?2}即可。
三、由f'(a)?0,f''(x)?0,得f'(x)?0,所以f(x)递减，
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又f(x)?f(a)?f'(a)(x?a)?1f''(?)(x?a)2，所以limf(x)???，且f(a)?0，所以
x???2f(x)必有零点，又f(x)递减，所以有且仅有一个零点。
四、?(x)??10f(x)1x?f(xt)dt??f(t)dt,?'(x)?xx0?x0f(t)dtx2，
?'(0)?lim?(x)xx?0??limx?0x0f(t)dtx2?limx?0f(x)A?， 2x2f(x)lim?'(x)?lim?x?0x?0x1?x0f(t)dtx2f(x)?lim?limx?0x?0x?x0f(t)dtx2?A，?'(x)在x?0连续。 2五、当m?k时，不妨设m?k，
112m(m)2k(k)??1Pm(x)Pk(x)dx?2m?km!k!??1[(x?1)][(x?1)]dx
?1?1[(x2?1)m](m)[(x2?1)k](k)dx?1?1[(x2?1)m](m)[(x2?1)k](k?1)1??[(x2?1)k](k?1)[(x2?1)m](m?1)dx=
?11?11??[(x2?1)k](k?1)[(x2?1)m](m?1)dx???(?1)k?[(x2?1)k][(x2?1)m](m?k)dx?0
?1当m?k时，
??1?11Pm(x)Pk(x)dx?122mm!2?1?1[(x2?1)m](m)[(x2?1)m](m)dx
1?1?1[(x2?1)m](m)[(x2?1)m](m)dx?[(x2?1)m]m[(x2?1)m]m?111??[(x2?1)m]m?1[(x2?1)m](m?1)dx?11=??[(x2?1)m]m?1[(x2?1)m](m?1)dx=??(?1)m?[(x2?1)m][(x2?1)m](2m)dx=
?1m?1(?1)(2m)!?1?1[(x?1)]dx=2(?1)m(2m)!?[(x2?1)m]dx
02m1六、J是实数，???0,???0,当T??时，当?i?(xi?1,xi)时，
s?f(?)(xii?1ni?xi?1)?J??
?i?11lim?????xsdx，当s??1时，该积分收敛。
0n??i?0?n?n?(?1)n1七、?(?1)有界，在(??,??)上单调一致趋于零，由狄利克雷判别法知，?22n?xn?1n?xk?1n?1nk?11在(??,??)上一致收敛，?与同敛散，所以发散； ?2n?1n?xn?1n??x2x2当x?0时，?绝对收敛，当x?0时，?绝对收敛； 2n2nn?1(1?x)n?1(1?x)?2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
Rn(x)?八、1.
112取x?n(1?x2)n11?，所以不一致收敛 1e(1?)nn1s1I(s)??lns?tdt??ln(s?t)dt??ln(t?s)dt???ln(s?t)dt??ln(t?s)dt00s0s1s???lntdt??lntdt00s1?s
11I'(s)??lns?ln(1?s),I''(s)????0s1?s11112I(s)??2?lntdt??2(ln??2dt)?ln2?1
0220，当s?12时，
y,x3312y2?(u,v)22. u?xy,v?,J?dudv?ln3,?y2y?3v??113v3x?(x,y)?2,
xx3.
J?3??[1?x2?y2?(1?x?y)2]dxdyD:x2?y2?xy?x?y
D3?44sin??cos?1?sin?cos?0J?43??d???(rcos??rsin??r2sin?cos?)rdr(1?sin2(x??4))2
?dx(sin??cos?)3834(1?sin2?)83??d??d??3??3??4(1?sin?cos?)33??4(2?sin2?)33?0(2?sin2(x?))4423?4?83?(1?cos2x)2 ?dx ?303(2?cos2x)?
?0(1?cos2x)2dx?3(2?cos2x)??044sin4x4sinxdxdx22 dx?2?8??2322322300(1?2sinx)(3sinx?cosx)sinx(3?cotx)?????8?20?dcotxdx8?dx8222?42?8??cosxdx?(1?cos2x)dx??0(3?x2)327?0(1?x2)327?027?018(3?cot2x)3??J=
43? 27
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南开大学年数学分析
一、设w?f(x?y,x?y,x)其中f(x,y,z)有二阶连续偏导数，求wxy
解：令u=x+y,v=x-y,z=x则wx?fu?fv?fz；
wxy?fuu?fuv(?1)?fvu?fvv(?1)?fzu?fzv(?1)
二、设数列{an}非负单增且limann??nn?a2???a，证明lim[a1n??1nn?an]1nn?an]?a
解：因为an非负单增，故有an由
n??nn?[a1?a2???1nn(nan)
liman?a；据两边夹定理有极限成立。
0,x?0?2三、设f(x)??xln(1?x),x?0试确定?的取值范围，使f(x)分别满足：
??（1） 极限limf(x)存在
x?0?（2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为
xxlimf(x)=limx?ln(1?x2)=limx?[x2????(?1)n?1?o(x2n)]极限存在则x?0x?0x?02n??42n?2+??0知???2
??2
x?0?(2)因为limf(x)=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则?2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
?(0)（3）f?2?0所以要使f(x)在0可导则???1
四、设f(x)在R连续，证明积分?f(x2?y2)xdx?ydy与积分路径无关
l解；令U=x?y2则?lf(x2?y2)xdx?ydy=1?lf(u)du又f(x)在R上连续故存在F（u）
2使dF(u)=f(u)du=f(x2?y2)xdx?ydy
所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、
设
f(x)在
M[a,b]上可导，
f(a?b)?02且
f?(x)?M,证明
b2 ?af(x)dx?4(b?a)证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
即
有
a?ba?b??(a,b)使f(x)?f()?f?(?)(x?)22?f(x)dx??f?(?)(x?abababa?b)dx2a?ba?ba?ba?bMb?2??f(?)(x?)dx?M[?a(?x)dx??a?b(x?)dx]?(b?a)222242六、设{an}单减而且收敛于0。
a) 证明
?ansinn发散
?ansinn收敛
un?1n??vnlim其中
b) 证明
un??(aksink?aksink)；
vn??(aksink?aksink)
证：（1）因为
?sink?11sin2而{an}单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知
?ansinn收敛
（2）因为正项级数
?ansinn发散则?aksink??(n??)又由上题知
un?1
n??vn?aksink有界故有lim
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