3.5.2 简单线性规划
1．体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题． 2．经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高用线性规划解决实际问题的能力．
线性规划中的基本概念
名称 目标函数 约束条件 线性目 标函数 线性约 束条件 线性规 划问题 最优解 可行解 可行域 定义 要求__________________的函数，叫做目标函数 目标函数中的变量所要满足的__________ 如果目标函数是________________，则称为线性目标函数 如果约束条件是____________________________，则称为线性约束条件 在线性约束条件下，求线性目标函数的________________问题，称为线性规划问题 使目标函数达到__________________的点的______，称为问题的最优解 满足线性约束条件的____，叫做可行解 由所有________组成的集合叫做可行域
简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量x，y，写出约束条件及目标函数．(2)作：作出可行域．(3)移：作一组平行直线l，平移l，找最优解．(4)解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
x－y＋1≥0，??
【做一做1】如果实数x，y满足条件?y＋1≥0，
??x＋y＋1≤0，
那么2x－y的最大值为( )．
A．2 B．1 C．－2 D．－3
【做一做2】配制A，B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)：
药剂A，B至少各配一剂，且药剂A，B每剂售价分别为100元、200元．现有原料甲20
千克，原料乙25千克，那么可获得的最大销售额为______百元．
一、图解法求最值的实质
剖析：设目标函数为z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由z＝Ax＋By＋C得y＝－x＋二元一次函数就可以视为斜率为－，在y轴上截距为
ABz－C.这样，BABz－C，且随z变化的一组平行线．于B是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B＞0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B＜0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小．
(1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．
(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． 二、常见的线性规划问题类型
剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
(2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题
例如已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
②产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？
③下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？
题型一 求线性目标函数的最值问题
0≤x≤1，??
【例1】设z＝2y－2x＋4，式子中x，y满足条件?0≤y≤2，
??2y－x≥1，
试求z的最大值和
最小值．
分析：作出线性约束条件下的可行域，然后作出与直线2y－2x＝0平行的直线，通过平移直线，在可行域内求出最大值和最小值．
反思：求目标函数z＝ax＋by＋c(ab≠0，c≠0)的最值，与求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法是一样的，因为在z＝ax＋by＋c中，c为非零常数，故仍可设t＝ax＋by，只
要求出t＝ax＋by的最值，则z＝ax＋by＋c的最值即可求得，在本题中，通过平移直线，得到y轴上的截距的最值，也就得到了t的最值．
题型二 求非线性目标函数的最值问题
x－y＋2≥0，??
【例2】已知?x＋y－4≥0，
??2x－y－5≤0，
2
2
求：
(1)z＝x＋y－10y＋25的最小值； 2y＋1
(2)z＝的取值范围．
x＋1
分析：(1)中z＝x＋y－10y＋25＝(x－0)＋(y－5)的几何意义为平面区域内的点(x，122y＋1
y)到(0,5)的距离的平方；(2)z＝＝2·的几何意义为平面区域内的点(x，
x＋1x－－1
2
2
2
2
y－－
y)与(－1，－)连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结
合知识求解．
22
反思：(1)对形如z＝(x－a)＋(y－b)型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题．
12
by－－
aay＋ba(2)对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将cx＋dcdx－－
c问题转化为求可行域内的点(x，y)与(－，－)连线斜率的倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况．
题型三 简单的线性规划问题
【例3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．
题型四 最优整数解的问题
【例4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播放时间为21分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为60万；片集乙每集播放时间为11分钟，其中广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于86分钟的节目时间(包含广告时间)．电视台每周应播放两套片集各多少集，才能获得最高的收视率？
分析：设每周片集甲播放x集，片集乙播放y集，它们每集的广告时间都是1分钟，则x＋y不少于6分钟．我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过86分钟．
反思：如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则
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高中数学第三章不等式3_5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3_5_2简单线性规划学案新人教B版必修51
