2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析
一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
（1）设函数y?f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则（ ）
(A) 函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点 (B) 函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点 (C) 函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点 (D) 函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点 【答案】(B)
【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点，根据极值的充分条件可知，在某点左右导函数符号发生改变，则该点是极值点，因此从图可知函数f(x)有2个极值点。
根据拐点的必要条件可知，拐点可能是二阶导为零的点或二阶导不存在的点，根据拐点的充分条件可知，曲线在某点左右导函数的单调性发生改变，则该点是曲线的拐点，因此曲线y?f(x)有3个拐点，故选(B).
ex
，则（ ） （2）已知函数f(x,y)?
x?y
(A) fx??fy??0 (B) fx??fy??0 (C) fx??fy??f (D) fx??fy??f 【答案】(D)
xx
eex(x?y)?exe
?f，故答案为(D). ,fy??【解析】fx??，故,fx??fy??22
(x?y)(x?y)x?y
（3）设
Jk???3x?ydxdy(i?1,2,3)，其中D??(x,y)0?x?1,0?y?1?，
1
Di
D2?(x,y)0?x?1,0?y?xD3??(x,y)0?x?1,x2?y?1?则（ ）
(A) J1?J2?J3 (B) J3?J1?J2 (C) J2?J3?J1 (D) J2?J1?J3 【答案】(B)
【解析】先解析J1?J2，由于在J1?J2的积分区域上3x?y?0，所以，J1?J2<0，
??J1?J2；再分析J1?J2，由于在J1?J3的积分区域上3x?y?0，所以J1?J3>0，J1?J3，故J3?J1?J2，故答案为(B).
1 / 11
（4）级数为
?(n?1
?
11?)sin(n?k)（k为常数）（ ） nn?1(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与k有关 【答案】(A)
?
111111)?1,所?（?)sin(n?k)??【解析】由于，且?(nn?1nn?1nn?1n?1
以
?(11)sin(n?k)绝对收敛，故答案为(A). ?nn?1n?1
（5）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ）
(A)AT与BT相似 (B)A?1与B?1相似 (C)A?AT与B?BT相似 (D)A?A?1与B?B?1相似 【答案】(C)
【解析】A与B相似，即存在可逆矩阵P，使P?1AP?B，则
?
BT?(P?1AP)T?PTAT(P?1)T?PTAT(PT)?1?((PT)?1AT(PT)?1，即(A)是正确说法；B?1?(P?1AP)?1?P?1A?1(P?1)?1?P?1A?1P,进一步有
B?B?1?P?1AP?P?1A?1P?P?1(A?A?1)P，即（B）(D)都是正确说法；故选(C).
（6）设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3?2x1x3的正负惯性指数分别为1,2，则（ ）
(A) a?1 (B) a??2 (C) ?2?a?1 (D) a?1或a??2 【答案】(C)
2
2
2
?a11???
【解析】二次型f(x1,x2,x3)对应的矩阵A=?1a1?，由
?11a???
??a
?E?A??1
?1
?1?1
?1?(??a?2)(??a?a)2?0得，A的特征值为
??a
??a
?1
?1?a?2,?2??3?a?1，由于f(x1,x2,x3)的正、负惯性指数为1,2，且正、负惯性指数
恰好等于特征值中正、负数的个数，所以a?2?0且a?1?0，即?2?a?1.故选(C)
（7）设A,B为两个随机变量，且0?P(A)?1,0?P(B)?1，如果P(AB)?1，则（ ）
(A) P(BA)?1 (B) P(AB)?0 (C) P(A?B)?1 (D)P(BA)?1 【答案】(A)
【解析】因为P(AB)?1,P(AB)?
P(AB)
，可得P(AB)?P(B) P(B)
2 / 11
P(AB)?
故选(A)
P(BA)P(A?B)1?P(A?B)1?P(A)?P(B)?P(AB)1?P(A)
?????1
1?P(A)1?P(A)1?P(A)P(A)P(A)
（8）设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(1,4)，则D(XY)=（ ）(A) 6 (B) 8 (C) 14 (D) 15
【答案】(C)
【解析】因为X~N(1,2),Y~N(1,4)
E(X)?1,E(Y)?1,D(Y)?4,E(X2)?D(X)?E2(X)?3,E(Y2)?D(Y)?E2(Y)?5因为X与Y相互独立，所以有
D(XY)?E(X2Y2)??E(XY)??E(X2)E(Y2)??E(X)E(Y)??14,故选(C).
二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数f(x)满足limx?0
22
1?f(x)sin2x?1f(x)?_________. ?2，则limx?03xe?1【答案】6
11()sin2fxxf(x)sin2x1?f(x)sin2x?122?lim?lim 【解析】limx?0x?0x?023xe3x?1.2x
3
1f(x)?6。 ?limf(x)?2，故limx?03x?0
112n
（10）极限lim2(sin?2sin???nsin)?___________.
n??nnnn
【答案】sin1?cos1
ii1nii
【解析】原式=lim?2sin?lim?sin
n??nx??ni?1nni?1n
??xsinxdx???xdcosx??(xcosx10??cosxdx)?sin1?cos1.
0
0
0
1
1
1
n
（11）设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)由方程(x?1)z?y2?x2f(x?z,y)确定，则
dz|(0,1)?__________.
【答案】?dx?2dy
【解析】将（0,1）代入方程(x?1)z?y2?x2f(x?z,y)得z?1， 令F(x,y,z)?(x?1)z?y2?x2f(x?z,y)?0由二元隐函数存在定理得，
Fx?z?2xf(x?z,y)?x2?f1??z?z
????，则
x?1?x2?f1??x?xFz?Fy??z2y?x2?f2??z
???，则
?y?yFz?x?1?x2?f1?
(0.1)
(0,1)
??1
?2
3 / 11
（12）设D?{(x,y)||x|?y?1,?1?x?1}，则【答案】(1?) 【解析】
1
??xe
D
2?y
2
dxdy?___________.
132e
??xe
D
2?y2
dxdy?2??xe
D
2?y2
dxdy?2?dy?xe
0
0
1y
2?y2
dx
1321?y23
?2?e?ydy??eydy
0330
12212111
???y2de?y?(?y2e?y??e?yd(?y2))
00303
?y2
12
?(1?). 3e
??10
0??1
（13）行列式
00?4
3
2
0
00
?_________. ?1??1
【答案】?4??3?2?2+3?+4
??100??1
【解析】
00?4
3
2
?100?0
?4(?1)4?1??10?3(?1)4?20?1
0??10
??1
0?1
?00 ?1
?2(?1)4?3
??10?0
0
0
0?(??1)(?1)4?4?1??10
0??1?4?3??2?2?(??1)?2 00???4??3?2?2+3?+4
（14）设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为__________.
【答案】
2 9
2
【解析】P?C2()C2
13
21
12? 39
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
1
求极限lim(cos2x?2xsinx)x4。
x?0
【答案】e3
【解析】法一：泰勒公式
4 / 11
1
1
lim(cos2x?2xsinx)x?e
x?0
lim
4
x?0x4
lim
1
(cos2x?2xsinx?1)
?x3?11
1?(2x)2?(2x)4?o(x4)?2x?x??o(x3)??1
??24!?3!?
x4?ex?0
法二：罗比达法则
?e
14
x?ox43limx?0x4
???e
1
3
1
4lim(cos2x?2xsinx)x?ex?0x
x?0
lim
1
4(cos2x?2xsinx?1)
?ex?0?e
x?0
lim
?2sin2x?2sinx?2xcosx
4x
3
?ex?0
?lim
2xsinx12x
2x?0
lim
?4cos2x?4cosx?2xsinx
12x2
lim
?cos2x?cosx1
?63x2lim
?4cos2x?4cosx
12x
2?e
x?0
?e
2sin2x?sinx1
?
x?06x6lim
?e
11
?26
?e
13
（16）（本题满分10分）
设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数Q?Q(p)，需求弹性
??
p
(??0)，p为单价（万元）。
120?p
(I) 求需求函数的表达式；
(II) 求p?100万元时的边际效益，并说明其经济意义。 【答案】(I)Q?10(120?p) (II) R?
p?100
??800，经济意义：当p?100时，每增加1万元，收益将减少800万元
【解析】(I)因??
pp
(??0),则Q'????即
Q120?p
dQdp
??Q?C.(p?120)，其中C为任意常数。又该商品的最大需求量为1200件，Qp?120（120-p) 则p?0，Q?1200?C??10,则Q=10
(II)收益函数R(p)?pQ?10p(120?p)，则R?
P?100
??800
经济意义：当p?100时，每增加1万元，收益将减少800万元。 （17）（本题满分10分） 设函数f(x)?
1
?
0
t2?x2dt(x?0)，求f?(x)并求f(x)的最小值
1
2
1 4
x143212222
【解析】f(x)??(x?t)dt??(t?x)dt?x?x?，
0x33
11
f?(x)=4x2?2x?2x(2x?1)，令f?(x)=0可得x=(?x?0),且当x?(0,)时，
22
【答案】f?(x)=2x(2x?1)，最小值为f()?
?1?
f?(x)?0；当x??,???时，f?(x)?0，
?2?
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2016考研数学三真题及完整版答案 复旦金融考研
