欧阳德创编 2021.03.07
机械工程测试技术基础习题解
答
时间：2021.03.07 创作：欧阳德 第一章 信号的分类与描述
1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指
数函数形式），划出|cn|–ω和φn–ω图，并与表1-1对比。
x(t) A … ?T0 20 -A T0 2T0 … t ?T0 图1-4 周期方波信号波形图
解答：在一个周期的表达式为
T0??A (??t?0)??2x(t)??? A (0?t?T0)??2.
积分区间取（-T/2，T/2）
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
x(t)?n????cne?jn?0t??j1(1?cosn?)ejn?0t??n???nA?，
n=0, ?1, ?2, ?3, 。
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没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
|cn| 2A/π 2A/3π -3ω0 -ω0 ω0 2A/π 2A/3π 2A/5π 3ω0 5ω0 ω π/2 ω0 -5ω0 -3ω0 -ω0 -π/2 相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
3ω0 5ω0 ω φn 2A/5π -5ω0 幅频图
1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值
μx和均方
根值xrms。
解
答
：
T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?TωTωπ2x1T1Tμx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0T0T
?
?atx(t)?Ae(a?0,t?0)的频谱。 1-3 求指数函数
解答：
|X(f)| A/a φ(f) π/2 0 0 f -π/2 f 单边指数衰减信号频谱图
1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见
图1-25b)的频谱。
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sgn(t) 1 0 -1 a)符号函数
图1-25 题1-4图 t u(t) 1 0 t b)阶跃函数
a)符号函数的频谱
t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，
这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。
x1(t) 1
|X(f)| φ(f) π/2 0
t
0 -1
0 f -π/2 f x1(t)?e?atsgn(t)符号函数
符号函数频谱
b)阶跃函数频谱
在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变
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机械工程测试技术基础(第三版)课后答案全集之欧阳德创编
