高中数学课时跟踪检测二十三指数函数与对数函数的关系新人教B版必修1

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课时跟踪检测（二十三） 指数函数与对数函数的关系

层级一 学业水平达标

1．函数y＝3(0＜x≤2)的反函数的定义域为( )

A．(0，＋∞) B． (1,9]

xxC．(0,1) D．[9，＋∞)

解析：选B 由于反函数的定义域为原函数的值域，

x∵0＜x≤2，∴y＝3∈(1,9]，故y＝3(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1,9]．

x2．若函数y＝f(x)是函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )

xA．log2xB.

12x

C．logxD．2

x－2

解析：选A 函数y＝a(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝

1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.

3．函数y＝－1－x(x≤1)的反函数是( )

2

2

A．y＝x－1(－1≤x≤0) B．y＝x－1(0≤x≤1)

C．y＝1－x(x≤0) D．y＝1－x(0≤x≤1)

2

2

解析：选C ∵x≤1，∴－x≥－1,1－x≥0，∴1－x≥0，∴－1－x≤0，∴y≤0.原函数的值域应与反函数的定义域相同，∴选项中只有C的定义域满足小于等于0.

4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数图象过点(2,8)，

则a＋b等于( )

A．6 B．5C．4 D．3

解析：选C 由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图象过点(2,1)和(8,2)，∴

??

???

＋＋

＝1，＝2，

?a＝2＋b，?

∴???a2＝8＋b.

?a＝3，?

解得?

??b＝1.

－1

∴a＋b＝4.

5．函数y＝f(x)的图象经过第三、四象限，则y＝f(x)的图象经过( )

A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限

－1

解析：选B 因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f(x)的图

－1

象经过第二、三象限．

6．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f(x)的定义域是________．

解析：f(x)的定义域为f(x)的值域，

∵x≥1，∴log2x≥0，

－1

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－1

∴log2x＋3≥3，

∴f(x)的定义域为[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞)

7．若函数f(x)＝2x＋1的反函数为f(x)，则f(－2)＝________.

y－1

解析：法一：函数f(x)的值域为R，由y＝2x＋1，得x＝，2

x－1－2－13－1－1

故f(x)＝，故f(－2)＝＝－.

222

－1－1

3

法二：由互为反函数的两函数定义域、值域的关系，令2x＋1＝－2，得x＝－.

2

3－1

故f(－2)＝－.2

3

答案：－

2

8．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图象都过点P，则点P的

坐标是________．

解析：当x＝－2时，

f(x)＝loga(－2＋3)＝0，

∴f(x)恒过(－2,0)点，即反函数的图象恒过点P(0，－2)．

答案：(0，－2)

9．求下列函数的反函数．

1

(1)f(x)＝；

2x＋1

(2)f(x)＝1－1－x2(－1≤x＜0)．1

解：(1)设y＝f(x)＝，则y≠0.

2x＋1

由y＝

11－y

，解得x＝.2x＋12y

1－x－1

∴f(x)＝(x≠0)．

2x

(2)设y＝f(x)＝1－ 1－x2.

∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1.

由y＝1－ 1－x2，解得x＝－ 2y－y2.

∴f(x)＝－ 2x－x2(0＜x≤1)．

－1

10．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．

(1)求函数f(x)的定义域、值域；

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(2)求函数f(x)的反函数f(x)；

(3)判断f(x)的单调性．

－1

－1

解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，

故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R.

(2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝a，

－1

y即x＝2－a.

xy∴f(x)＝2－a(x∈R)．

－1

(3)f(x)在R上是减函数．

证明如下：

任取x1，x2∈R且x1

∵f(x2)－f(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，

∵a>1，x1

－1－1

∴ax1

∴f(x2)

－1

－1

∴y＝f(x)在R上是减函数．

－1

层级二 应试能力达标

1．函数y＝ln 2x(x＞0)的反函数是( )

1x2xA．y＝e(x∈R) B．y＝e(x∈R)

2

C．y＝2e(x∈R) D．y＝e2(x∈R)

xx

1y解析：选A 由y＝ln 2x(x＞0)，得x＝e，

2

1x∴所求的反函数是y＝e(x∈R)．

2

2．已知a>0，且a≠1，函数y＝a与y＝loga(－x)的图象只能是图中的( )

x

解析：选B y＝a与y＝logax互为反函数，图象关于y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝

logax关于y轴对称．

x∵在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，

∴排除A、C.当0

xx－1

－1

3．设a＞0，且a≠1，函数f(x)＝a，g(x)＝b的反函数分别是f(x)和g(x)．若lg