专题限时集训(三) 平面向量
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
→→→
1．(2016·泰安模拟)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M为BC的中点，则AM＝( ) 1→1→
A.AB＋AD 223→1→C.AB＋AD 44
3→1→
B.AB＋AD 421→3→D.AB＋AD 24
→→→→→1→→1→→
B [因为AB＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中点，所以AM＝(AB＋AC)＝(AB＋AD＋
22→
DC)＝(AB＋AD＋AB)＝AB＋AD，故选B.]
→→→
2．(2016·武汉模拟)将OA＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到OB，则OB＝( ) A.?B.?C.?D.?
1→2
→
1→23→1→42
?1－31＋3?
，?
2??2
?1＋31－3?，?
2??2
?－1－3－1＋3?，?
2?2??－1＋3－1－3?，?
2?2?
→6?1－3?2
A [由题意可得OB的横坐标x＝2cos(60°＋45°)＝2?－?＝，纵坐标y24??4＝2sin(60°＋45°)＝2?
→?1－31＋3?2?1＋3?6
，则OB＝?＋?＝，?，故选A.] 24?2??4?2
3．(2016·临沂模拟)设a＝(3，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则向量a－b与b的夹角为( )
A．30° C．120°
B．60° D．150°
D [∵向量a＝(3，1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，∴3x－3＝0，∴x＝3， ∴b＝(3，－3)，a－b＝(0,4)，设向量b与a－b的夹角为θ，
b·a－b－123
则cos θ＝＝＝－，∴θ＝150°.]
|b|·|a－b|23×42
4．(2016·滨州模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，AB＝23，AC＝22，A为钝角，M→→
是线段BC的中点，则AM·AO＝( )
图3-2
A．3 C．5
C [∵M是BC边的中点， →1→→
∴AM＝(AB＋AC)．
2
∵O是△ABC的外接圆的圆心，
→→→→1→212
∴AO·AB＝|AB||AO|cos∠BAO＝|AB|＝×(23)＝6.
22→→1→212
同理可得AO·AC＝|AC|＝×(22)＝4，
22→→1→→→1→→1→→
∴AM·AO＝(AB＋AC)·AO＝AB·AO＋AC·AO
2221
＝×(6＋4)＝5.] 2
→1→→→
5．(2016·烟台模拟)△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO＝(AB＋AC)，|AO|
2→→→
＝|AC|，则向量BA在BC方向上的投影等于( ) 【导学号：67722018】
A．－3C. 2
3 2
B.3 2B．4 D．6
D．3
→1→→→→C [由AO＝(AB＋AC)可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝
2→→→
|OC|.又因为|AO|＝|AC|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知→→→→
∠ABC＝30°，且|AB|＝3，所以BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝3×cos 30°3
＝，故选C.] 2
二、填空题
6．在如图3-3所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．
xy
图3-3
6
[设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a5
＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(x a＋y b)，∴e1－2e2＝2λ(x??λ－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴?
?λ?
2x－2y＝1，
x－2y＝－2，
3
x＝，??λ∴?5
y＝??2λ，
x6
则的值为.] y5
→→→→→→→→→7．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
→→→→7
[∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0， 12
→→→
∴(λAB＋AC)·BC＝0，
→→→→→→→2→2→→
即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB＋AC－AC·AB＝0. →→→→
∵向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2， 7
∴(λ－1)×3×2×cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]
12
→→
8．(2016·湖北七州联考)已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则OB·OC＝__________.
1
－ [∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平6分线，且AO＝
→→→→→→→→→→→→→23
，∴OB·OC＝(AB－AO)·(AC－AO)＝AB·AC－AO·AC－AO·AB＋AO＝3
1×1×cos 60°－
三、解答题
331?3?2
×1×cos 30°－×1×cos 30°＋??＝－.] 336?3?
9．(2016·淄博模拟)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，
y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)．
→2
(1)若m＝n＝，求|OP|；
3
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
→→2→2→2
[解] (1)∵m＝n＝，AB＝(1,2)，AC＝(2,1)，∴OP＝(1,2)＋(2,1)＝(2,2)，∴|OP333|＝2＋2＝22.4分
→
(2)∵OP＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，
??x＝m＋2n，∴???y＝2m＋n，
2
2
→→→
两式相减，得m－n＝y－x.6分
令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.
12分
→→
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC＝2，cos B1
＝，b＝3.求： 3
(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值．
→→
[解] (1)由BA·BC＝2得cacos B＝2.1分 1
因为cos B＝，所以ac＝6.2分
3由余弦定理，得a＋c＝b＋2accos B. 又b＝3，所以a＋c＝9＋2×2＝13.
??ac＝6，解?22
?a＋c＝13，?
2
22
2
2
得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.4分
因为a>c，所以a＝3，c＝2.6分 (2)在△ABC中，sin B＝1－cos B＝
2?1?222，7分 1－??＝
3?3?
c22242
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.8分
b339
因为a＝b>c，所以C为锐角，因此cos C＝1－sin C＝
21－??42?27
?＝.10分 ?9?9
17224223
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.12分
393927
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．(2016·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于→→→
点D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) C．(1，2]
B．(1，＋∞) D．(－1,0)
→→→→
B [由题意可得OD＝k OC＝kλOA＋kμOB(0 ＝1，则λ＋μ＝>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.] k?5?2．(2014·大连模拟)已知平面向量|a|＝2，|b|＝1，且(a＋b)⊥?a－b?，则a与b的?2? 夹角为( ) A.C. π 3π 5 B.D.π 4π 6 523?5?2 A [因为(a＋b)⊥?a－b?，所以a－b－a·b＝0. 22?2? 5322 又因为|a|＝2，|b|＝1，所以a＝4，b＝1，所以4－－a·b＝0，所以a·b＝1.所 221 以a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1，所以cos〈a，b〉＝.又a与b的夹角范围为[0，π]， 2π 所以a与b的夹角为.] 3 →→→→ 3．如图3-4，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( )
年高考数学二轮专题复习与策略第部分专题三角函数与平面向量突破点3平面向量专题限时集训理
