[A 基础达标]
1．已知复数z＝a＋a2i(a<0)，则复数z在复平面内对应的点在( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析：选B.因为a<0，所以复数z＝a＋a2i对应的点(a，a2)位于第二象限．
2．已知i是虚数单位，在复平面内，复数－2＋i和1－3i对应的点之间的距离是( ) A.5 C．5
B.10 D．25
解析：选C.由于复数－2＋i和1－3i对应的点分别为(－2，1)，(1，－3)，因此由两点间的距离公式，得这两点间的距离为
（－2－1）2＋[1－（－3）]2＝5，故选C.
3．在复平面内，复数z对应的点在第四象限，对应的向量的模为3，且实部为5，则复数z＝( )
A．3－5i C．2－5i
B.5－3i D.5－2i
（5）2＋y2＝3，所以y＝－
解析：选D.由题意可设复数z＝5＋yi(y∈R，y<0)，则2，复数z＝5－2i.故选D.
4．(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4＋25i|＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i(i为虚数单位)，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．5 C．22
B.13 D．2
解析：选A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋(y＋5)i，
???x＋6＝3，?x＝－3，所以?解得?所以|x＋yi|＝|－3＋4i|＝5，故选A.
3－2x＝y＋5，y＝4，????
135．(2019·昆明检测)在复平面内，复数z＝＋i对应的点为Z，将点Z绕原点逆时针
22旋转90°后得到点Z′，则Z′对应的复数是( )
13A．－＋i
22C．－
31＋i 22
13B.－i 22D.31－i 22
解析：选C.|OZ|＝|z|＝1，故Z点坐标为(cos 60°，sin 60°)，逆时针旋转90°后得到点Z′，所以Z′(cos 150°，sin 150°)＝?－3131?，，则Z′对应的复数是－2＋2i. 22??
6．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是____________． 解析：|z|＝答案：?－
1＋4m2≤2，解得－33? ，22?33
≤m≤. 22
?
7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝____________． 解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝5，得故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
答案：1＋2i或－1－2i
8．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a＝________．
解析：设复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得－5＋1a＋1
＝，从而可得a＝5. 3－1－2－1
答案：5
9．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y＝x上．
a2＋4a2＝5，解得a＝±1，
??m－3>0，
解：(1)由题意得?解得3 2 ?m－5m－14<0，????m－3>0，?m－3<0， (2)由题意得?或? 22?m－5m－14>0??m－5m－14<0.? 所以m>7或－2 此时复数z对应的点位于第一、三象限． (3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3， 所以m2－6m－11＝0， 所以m＝3±25， 此时复数z对应的点位于直线y＝x上． → 10．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数为2＋i. → (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量OB对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． → 解：(1)设向量OB对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2，1)．根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1， 故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)， 则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1， 故z2＝－2－i. [B 能力提升] 35 π，π?，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应11．若θ∈?4??4的点在( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 解析：选B.由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的35?π? π，π?，坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为 θ∈?所以cos θ＋sin θ＝2sin?θ＋??44?4??π <0，sin θ－cos θ＝2sin(θ－)>0，所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选 4B. 12．已知复数z满足|z|＝ 2，则|z＋3－4i|的最小值是( ) A．5 C．7 B．2 D．3 解析：选D.|z|＝2表示复数z在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z＋3－4i|的最小值为 （－3）2＋42－2＝5－2＝3. 13．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________． 解析：因为z1＝2－3i在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内 对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－2，3)，对应的复数为z2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i 14．已知复数z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝3sin θ＋icos θ，求当θ满足什么条件时， (1)z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z2|<2. ??cos θ＝3sin θ， 解：(1)在复平面内，z1与z2对应的点关于实轴对称，则? ?sin 2θ＝－cos θ，? π ??θ＝kπ＋6，?? 7π11ππ ?θ＝2kπ＋或2kπ＋或kπ＋，?662 7π (k∈Z)，所以θ＝2kπ＋(k∈Z)． 6(2)由|z2|<2，得（3sin θ）2＋cos2 θ<2， 即3sin2 θ＋cos2 θ<2， 1 所以sin2θ<， 2 ππ 所以kπ－<θ 44 [C 拓展探究] 15．设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2； (2)|z|≤3. 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)， (1)|z|＝2，所以x2＋y2＝2， 所以点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z|≤3，所以x2＋y2≤9. 所以点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 应用案巩固提升
