[A 基础达标]
1.已知复数z=a+a2i(a<0),则复数z在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析:选B.因为a<0,所以复数z=a+a2i对应的点(a,a2)位于第二象限.
2.已知i是虚数单位,在复平面内,复数-2+i和1-3i对应的点之间的距离是( ) A.5 C.5
B.10 D.25
解析:选C.由于复数-2+i和1-3i对应的点分别为(-2,1),(1,-3),因此由两点间的距离公式,得这两点间的距离为
(-2-1)2+[1-(-3)]2=5,故选C.
3.在复平面内,复数z对应的点在第四象限,对应的向量的模为3,且实部为5,则复数z=( )
A.3-5i C.2-5i
B.5-3i D.5-2i
(5)2+y2=3,所以y=-
解析:选D.由题意可设复数z=5+yi(y∈R,y<0),则2,复数z=5-2i.故选D.
4.(2019·黑龙江齐齐哈尔模拟)若|4+25i|+x+(3-2x)i=3+(y+5)i(i为虚数单位),其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.5 C.22
B.13 D.2
解析:选A.由已知,得6+x+(3-2x)i=3+(y+5)i,
???x+6=3,?x=-3,所以?解得?所以|x+yi|=|-3+4i|=5,故选A.
3-2x=y+5,y=4,????
135.(2019·昆明检测)在复平面内,复数z=+i对应的点为Z,将点Z绕原点逆时针
22旋转90°后得到点Z′,则Z′对应的复数是( )
13A.-+i
22C.-
31+i 22
13B.-i 22D.31-i 22
解析:选C.|OZ|=|z|=1,故Z点坐标为(cos 60°,sin 60°),逆时针旋转90°后得到点Z′,所以Z′(cos 150°,sin 150°)=?-3131?,,则Z′对应的复数是-2+2i. 22??
6.已知复数z=1-2mi(m∈R),且|z|≤2,则实数m的取值范围是____________. 解析:|z|=答案:?-
1+4m2≤2,解得-33? ,22?33
≤m≤. 22
?
7.若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=5,则复数z=____________. 解析:依题意可设复数z=a+2ai(a∈R),由|z|=5,得故z=1+2i或z=-1-2i.
答案:1+2i或-1-2i
8.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a=________.
解析:设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),由已知可得-5+1a+1
=,从而可得a=5. 3-1-2-1
答案:5
9.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m-3)+(m2-5m-14)i的点: (1)位于第四象限; (2)位于第一、三象限; (3)位于直线y=x上.
a2+4a2=5,解得a=±1,
??m-3>0,
解:(1)由题意得?解得3 2 ?m-5m-14<0,????m-3>0,?m-3<0, (2)由题意得?或? 22?m-5m-14>0??m-5m-14<0.? 所以m>7或-2 此时复数z对应的点位于第一、三象限. (3)要使复数z对应的点在直线y=x上,只需m2-5m-14=m-3, 所以m2-6m-11=0, 所以m=3±25, 此时复数z对应的点位于直线y=x上. → 10.在复平面内,O是原点,向量OA对应的复数为2+i. → (1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量OB对应的复数; (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数. → 解:(1)设向量OB对应的复数为z1=x1+y1i(x1,y1∈R),则点B的坐标为(x1,y1),由题意可知,点A的坐标为(2,1).根据对称性可知,x1=2,y1=-1, 故z1=2-i. (2)设点C对应的复数为z2=x2+y2i(x2,y2∈R), 则点C的坐标为(x2,y2),由对称性可知,x2=-2,y2=-1, 故z2=-2-i. [B 能力提升] 35 π,π?,则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i在复平面内所对应11.若θ∈?4??4的点在( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 解析:选B.由复数的几何意义知(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i在复平面内对应点的35?π? π,π?,坐标为(cos θ+sin θ,sin θ-cos θ).因为 θ∈?所以cos θ+sin θ=2sin?θ+??44?4??π <0,sin θ-cos θ=2sin(θ-)>0,所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限,故选 4B. 12.已知复数z满足|z|= 2,则|z+3-4i|的最小值是( ) A.5 C.7 B.2 D.3 解析:选D.|z|=2表示复数z在以原点为圆心,以2为半径的圆上,而|z+3-4i|表示圆上的点到(-3,4)这一点的距离,故|z+3-4i|的最小值为 (-3)2+42-2=5-2=3. 13.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________. 解析:因为z1=2-3i在复平面内对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内 对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i. 答案:-2+3i 14.已知复数z1=cos θ+isin 2θ,z2=3sin θ+icos θ,求当θ满足什么条件时, (1)z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称; (2)|z2|<2. ??cos θ=3sin θ, 解:(1)在复平面内,z1与z2对应的点关于实轴对称,则? ?sin 2θ=-cos θ,? π ??θ=kπ+6,?? 7π11ππ ?θ=2kπ+或2kπ+或kπ+,?662 7π (k∈Z),所以θ=2kπ+(k∈Z). 6(2)由|z2|<2,得(3sin θ)2+cos2 θ<2, 即3sin2 θ+cos2 θ<2, 1 所以sin2θ<, 2 ππ 所以kπ-<θ 44 [C 拓展探究] 15.设z∈C,则满足下列条件的点Z的集合是什么图形? (1)|z|=2; (2)|z|≤3. 解:设z=x+yi(x,y∈R), (1)|z|=2,所以x2+y2=2, 所以点Z的集合是以原点为圆心,以2为半径的圆. (2)|z|≤3,所以x2+y2≤9. 所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.
新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 应用案巩固提升
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