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宁夏回族自治区2024年初中学业水平暨高中阶段招生考试
数学试题
说明：
1.考试时间120分钟。满分120分。
2.考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1.计算： 的结果是
A. 1 B.
C.0
D.-1
2.下列运算正确的是 A.
B. (a2)3=a5
C.a2÷a-2=1
D.（-2a3）2=4a6
3.小亮家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是 A. 30和 20
B. 30和25 D. 30和17.5
C. 30和22.5 4.若
是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是
B.
C.
D.
A.1
5.某企业2024年初获利润300万元，到2024年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是 A.300（1+x）=507
B.300（1+x）2=507
参考材料
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C.300（1+x）+300（1+x）2=507 D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507
6.用一个半径为30，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 A．10
B.20
C.10π D.20π
7.将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是 A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
8.如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定
的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.容器内水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9.不透明的布袋里有1个黄球、4个红球、5个白球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 . 10.已知m+n=12,m-n=2,则m2-n2= .
11.反比例函数 （k是常数，k≠0）的图象经过点（1,4），那么这个函数图象所在的
每个象限内，y的值随x值的增大而 .（填“增大”或“减小”）
12.已知：，则 的值是 .
有两个不相等的实数根，则c的取值范围
13.关于x的方程 是 .
参考材料
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14.在平面直角坐标系中，四边形AOBC为矩形，且点C坐标为（8,6），M为BC中点，反
比例函数 是 .
15.一艘货轮以
的图象经过点M，交AC于点N，则MN的长度
㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的
东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是 km.
16.如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁 张A8的纸.
参考材料
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三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）
?x?3(x?1)?5?17.解不等式组：?x?3x?1?1??2 ?5
18.先化简，再求值：
；其中，.
19.已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出
△A2B2C2，并写出点B2的坐标.
参考材料
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20.某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时.为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）.
参考材料
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请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）表中的a=，将频数分布直方图补全；
（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？ （3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状
图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
21.已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交
AB于点N.
（1）求证：△ABE≌△BCN； （2）若N为AB的中点，求tan∠ABE.
参考材料
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22.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元.
（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超
过多少元？
（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产
品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？
四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23.已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，
且AC=CP. （1）求∠P的度数；
（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE·DC=20，求⊙O的面积.
（π取3.14）
24.抛物线 线l，顶点为C.
（1）求抛物线的解析式；
经过点A 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直
（2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积.
参考材料
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25.空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示.
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1,2,6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为，组成这个几何体的单位长方体的个数为个；
参考材料
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（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是；（只填序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式. ②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数. ③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同. ④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.
⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数. （3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x,y,z），某同学针对
若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x,y,z）； （用x、y、z、S1、S2、S3表示）
参考材料
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（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）
26.如图：一次函数 的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数
（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP. （1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值； （2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标.
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宁夏回族自治区2024年初中学业水平暨高中阶段招生考试
参考材料
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数学试题参考答案及评分标准 ．．．．．．．．．．．．．说明： 1. 除本参考答案外，其它正确解法可根据评分标准相应给分。
2. 涉及计算的题，允许合理省略非关键步骤。
3. 以下答案中右端所注的分数，表示考生正确做到这步应得的累积分。 一、 选择题（3分×8=24分）
题号 答案
二、 填空题（3分×8=24分）
9.
1 C 2 D 3 C 4 A 5 B 6 A 7 D 8 D 291； 10. 24； 11. 减小； 12.?； 13. c?； 58 214. 5 ； 15. 18 ； 16. 16. 三．解答题（每小题6分，共36分）
17． 解：解不等式①得：x≤-1, ………………………………………………………2分
解不等式②得：x＞-7, …………………………………………………4分 所以，原不等式组的解集为 -7＜x＜x≤-1 6分
18. 解：原式=(11x?32xx?3x?)????……………………………4x?3x?32(x?3)(x?3)2x?3分
当x?3?3时，原式?3?33?1?3…………………………6分
参考材料
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19. 解：（1）正确画出轴对称图形△A1B1C1……………………………………2分
（2）正确画出位似图形图形△A2B2C2（3分）； B2（10，8）…………………6分
20． 解：（1）a?120，正确补全频数分布直方图………………………2分
（2）8000×（0.05+0.3）=2800（名）…………………………………3分
（3）由列表法或树状图法可知，随机抽取两名同学的可能性共有12种，其中抽到1名男生和1名女生的可能性有6种.
∴P（抽到1名男生和1名女学生）=
21．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90° ∵CM⊥BE ∴∠2+∠3=90°
61? ………………………6分 122参考材料
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∴∠1=∠3
在△ABE和△BCN中
∴△ABE≌△BCN（ASA）……………………………………3分 （2）解： ∵N为AB中点 ∴BN?1AB 21AB 2AEAE1 在Rt△ABE中，tan∠ABE=? ??…………………6分
AB2AE2
又∵△ABE≌△BCN ∴AE= BN?22． 解：（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为(x+10)元 根据题意，得：1.2（x+10）+x ≤34 解得，x≤10
答：购入B种原料每千克的价格最高不超过10元. ………………………2分 （2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a+30）元 根据题意，得：
1000016000，解得，a =50 ?aa?30 经检验，a =50是原方程的根，且符合实际.
答：这种产品的批发价为50元. ……………………………… 6分
四、解答题（23题、24题每题8分，25题、26题每题10分，共36分） 23．解：（1）连接OC
∵PC为⊙O的切线 ∴∠OCP=90° 即∠2+∠P=90°
∵OA=OC ∴ ∠CAO＝∠1 ∵AC=CP ∴∠P＝∠CAO 又∵∠2是△AOC的一个外角
∴∠2=2∠CAO =2∠P
参考材料
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∴ 2∠P+∠P=90°
∴∠P=30°………………………………………………………………………… 4分 （2）连接AD ∵D为
的中点
∴∠ACD=∠DAE ∴△ACD∽△DAE ∴ 即 AD2=DC·DE
∵ DC·DE=20 ∴ AD?25 ∵
=
∴ AD=BD?25
∵ AB是⊙O的直径 ∴Rt△ADB为等腰直角三角形 ∴ AB?210 ∴ OA?DCAD ?ADDE1AB=10 2∴S⊙O=π·OA2=10π=31.4 ………………………………………………… 8分
12y??x?bx?c经过A24.解：（1）∵抛物线、B（0，3） （33，0）3 ∴
由上两式解得b?23 31223x?x?3………3分 33∴抛物线的解析式为：y?? （2）设线段AB所在直线为：y?kx?b
∵线段AB所在直线经过点A、B（0，3） （33，0）抛物线的对称轴l于直线AB交于点D ∴设点D的坐标为D （3，m）将点D代入y??（3，m）3x?3，解得m=2 3∴点D坐标为 ∴CD=CE-DE=2 （3，2）过点B作BF⊥l于点F ∴BF=OE=3 ∵BF+AE = OE+AE =OA=33
参考材料
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∴S△ABC=S△BCD +S△ACD= ∴S△ABC=
11CD·BF+CD·AE 221CD（BF+AE） 21=×2×33=…………………8分 225.解：（1） （2，3，2）； 12…………………………………………………………2分
（2） ① ② ⑤………………………………………………………………………5分
（3）S(x,y,z)?2yzS1?2xzS2?2xyS3?2(yzS1?xzS2?xyS3)………………7分 （4）当S1=2， S2=3， S3=4时
欲使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数). 在由12个单位长
方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），（2，2，3）.
而 S（1，1，12）=128 ， S（1，2，6）=100， S（1，3，4）=96， S（2，2，3）=92 所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为:（2，2，3）， 最小面积
为S（2，2，3）=92……………………………………………………………………………10分 26.解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）
∵PM⊥y轴
S(x,y,z)?2(yzS1?xzS2?xyS3)?2(2yz?3xz?4xy)11OM·PM=?x0?y0 22 3将y0??x0?3代入得
413333S?OPM?x0(?x0?3)??(x0?4x0)??(x0?2)2?
248823∴当x0=2 时，△OPM的面积有最大值Smax=
2APPMAB?PM∴PM∥OB ∴ 即AP? ?ABOBOB
∴S△OPM=
∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B ∴OA=3 ， OB=4，AB=5 ∴AP=
5………………………………………………………6分 2
（2）①在△BOP中，当BO = BP时
BP = BO=4， AP=1
参考材料
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∵P1M∥OB∴ ?ABOB ∴MP?APPM44312，将MP?代入代入y??x?3中，得OM?5545 412∴ P1（，）……………………………………8分
5 5②在△BOP中，当OP= BP时
过点P作PM⊥OB于点N
∵OP=BP ∴1 ON=2OB?2 将ON=2代入y??34x?3中得，MP?32 ∴ 点P的坐标为P（2，32）……………………………10分
参考材料
2024年宁夏回族自治区中考数学试卷含答案
