\\n B - J3t -0 in c(r) = ln2 - R(t) + (/? + g\
两边再对t求导数，有：
-p-e
= -r(f) + (/? + g)
因此,
c(f) _ _ 广(/) — n_ g_ (3 r(f) _ x _ g _ [q _ x _ (1 _ 0)g] 而_ e _ e
_ 7)- p-0g _ 0
这就是描述C调整路径的“欧拉方程”，它表明家庭可以在不改 变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。
对欧拉方程的理解：
c(/)_ 广⑴一p_pg _ 厂⑴-p 而— e - e
空+& =型+空2
C⑴ C⑴ A(t)
则￡￡2 =巴+也/)_Q 、C(r) c⑴ A(r) 0
因此，当 r(r) > p时，C(r)>0；当 r(r) < p时，C(f)vo； 0越小, c的变化率越大。(思考：为什么)
此外，欧拉方程还说明了r与Q之间的关系与区别(思考：是怎 样的关系和含义)
五、稳态均衡
1. k的动态学（k的微分方程）
与索洛模型一样，k的稳态的条件是实际投资等于持平投资。实 际投资为/伙）-c,持平投资为（n+g）k （没有考虑折旧）。因此，
?
一 =f（k） 一 c-（n + （思考：该式表明f（k）的用途是什么）
k
当￡ =0时，c = f（k）-（n + g）k 根据黄金律规则，当广伙g°/d）= （n + g）时，c最大，c随着k的 增加先增加后下降。
再考虑非稳态的情况，当c超过使2=0时的水平时，当 c低于使7=0时的水平时，7>0。（思考：为什么）
2. c的动态学（c的微分方程） 将巾）=广他））代入欧拉方程，得: c(f) _ 广k((f))-Q-砂 而— e 当；⑴二o时，广伙*(0)=。+改
再考虑非稳态的情况，当k>k*时，广伙(f))vp +改，贝|Jc(o<0； 当 kvk*时，广伙(/))>/? +敢，则c(r)>0o
图示：
C ? c 二0 i ? c>0 ? c<0 k*
3. k和c的动态学(k和c的微分方程组和横截面条件共同构成) (1)综合上两图，有以下相位图:
【证明】
广伙M）= s+g），广伙*a））= o+改，而收敛条件 p-n-（\\-O）g>Q,故广如）v 广伙 * ⑴），因此 < ksold o
（3）鞍点路径（或稳定臂）
c c 二0
根据相位图描绘在（c, k）空间上从初始值（co, kO）的动态调整轨 迹，然
后在动态轨迹中排除会使最终资本存量为负和超过资本黄金存 量的轨迹，得到鞍点路径（或稳定臂）。因为：
（1） 最终资木存量必须为正； （2） 超过资本黄金存量会使e~R{x，n+s）vVk（v）发散（思考：为 什么），
即家庭收入的现值无穷大于消费的现值，这与家庭效用最大 化的目标不一致。
因此，鞍点路径满足家庭的跨期消费最优化、资本存量的稳态、 资木存量非
负和家庭预算约束的要求。对于任意kO, CO必须等于鞍 点路径上的相应值，并沿着鞍点路径收敛到均衡点Eo
六、平衡增长路径
均衡点E(c*,k*)的解为: 广伙 *) = /? + <% c* = f 伙*)一(川 + g)k *
因此模型中的各个变量的长期变动如下:
变量 绝对量K L A AL 含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 平衡增长速度 n+g n g n+g 备注证明 k=K/AL 总产出 Y 总消费 C k(Y/AL) 有效劳动的平均资本 相 对 量 K/L y(Y/AL) Y/L c(Y/AL) C/L K/Y s 人均资本 有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比 储蓄率 n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 0 F(cKzcAL)=cF(K,AL) C=ALc k=k* y=f(k)=Y/AL c=c* s=(y-c)/y 结论:将储蓄率内生化并没有改变索洛模型中关于平衡增长路径 的描述。因此，索洛模型关于经济增长的驱动力的解释不依赖于储蓄 率为常数的假定。即使储蓄率是内生的，外生的技术进步依然是人均 产出持续增长的唯一根源。
七、修正的黄金资本存量
定理在拉姆齐模型中，人均资本存量k收敛于k*,且低于索 洛模型中的黄金资本存量k*z因此k*被称作“修正的黄金资木存量”。
定理2：拉姆齐模型表明在索洛模型中高于黄金资本存量的平衡 增长路径是不可能的。
【证明】通过相位图可以证明当k(0)>k(gold)时，追求跨期最优化 的家庭将降低储蓄,使k收敛于k*,且k* 定理3：经济不收敛于产生最大c (即c(gold))的平衡增长路径, 而是收敛于一个较低的水平C*o 【证明】c*vc(gold)的前提是Q —x —(1 —0)g>0,它表明贴现率 较高，家庭和个人更重视现期消费，而不是未来消费。
2-拉姆齐模型 - 图文
