初中数学竞赛模拟试卷（含详解）
一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）
1. 对于任意实数a,b，定义a?b=a(a?b)?b，已知a?2.5?28.5，则实数a的值是
_________。
22，BC?a，CA?2a，其中a,b是大于1的整数，2. 在三角形ABC中，AB?b?1则b?a? 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x的方程x?2x?(3?k)x?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根
的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC中AC?1，BC?2，P为斜边AB上
一动点。PE?BC,PF?CA，则线段EF长的最小值为 。
22432BEPCFA6. 设a,b是方程x?68x?1?0的两个根，c，d是方程x?86x?1?0的两个根，则
?a?c??b?c??a?d??b?d?的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点P??1,1?，Q?2,2?,函数y?kx?1的图像与线段PQ延长
线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。
8. 方程xyz?2009的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD中AB?BC?CD,?ABC?78,?BCD?162。设AD,BC延长线交于E，则?AEB?_________________.
ADBCE??AFD
1
BCE
10. 如图，在直角梯形ABCD中，
DC?ABC??BCD?90?,AB?BC?10,点M在BC上，使得?ADM是正三角形，则?ABM与?DCM的面积和是________________。
?MAB二、（本题15分）如图，?ABC中，?ACB?90,点D在CA上，使得CD?1 ，AD?3，并且?BDC?3?BAC，求BC的长。
BBCDA
CDEA
三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd：abcd?ab?cd，其中数字c可
以是0。
??2 2
四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正
整数中，至少有一个素数，求最小的n。
五、（本题15分）若两个实数a,b使得a?b与a?b都是有理数，称数对?a,b?是和谐的。
22① 试找出一对无理数，使得?a,b?是和谐的；
② 证明：若?a,b?是和谐的，且a?b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数； ③ 证明：若?a,b?是和谐的，且
a是有理数，则a,b都是有理数。 b 3
鍒濅腑鏁板绔炶禌妯℃嫙璇曞嵎(鍚瑙? - 鐧惧害鏂囧簱
