因为a?100??12?20?15?30?10?3??10， 所以a?10，b?3.
（Ⅱ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动”为事件A， 则P?A??20?301?. 1002所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率约为
1. 2（Ⅲ）X可取0,10,20,30,40.
320?0.03；P?X?10???0.2； 1001005012P?X?20???0.5；P?X?30???0.12；
10010015P?X?40???0.15.
100P?X?0??所以随机变量X的分布列为：
所以E?X??0?0.03?10?0.2?20?0.5?30?0.12?40?0.15?21.6. 17．解：（Ⅰ）证明：取PD中点G，连接AG,FG. 因为F,G分别是PC,PD的中点， 所以FG∥CD，且FG?1CD. 2因为ABCD是矩形，E是AB中点， 所以AE∥FG，AE?FG. 所以AEFG为平行四边形. 所以EF∥AG.
又因为AG?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD.
（Ⅱ）因为PA?平面ABCD， 所以PA?AB，PA?AD.
因为四边形ABCD是矩形，所以AB?AD. 如图建立直角坐标系Axyz，
所以E??2??2?,0,0F,1,1，????2??2?，D?0,2,0?， ????uuur?2uuur?,?2,0所以EF??0,1,1?，DE????2?. ??r设平面EFD的法向量为n??x,y,z?，
ruuur?y?z?0?n?EF?0??因为?ruuu，所以?2. rx?2y?0???n?DE?0?2r??z??1令y?1，所以?，所以n?22,1,?1.
??x?22uuur又因为PC?2,2,?2，
????设PC与平面EFD所成角为?，
uuurrPC?nuuurr4?2?24?. 所以sin??cosPC,n?uuurr?10?105PC?n所以PC与平面EFD所成角的正弦值为
4. 5
（Ⅲ）因为侧棱PA?底面ABCD，
所以只要在BC上找到一点M，使得DE?AM， 即可证明平面PAM?平面EFD. 设BC上存在一点M，则M?2,t,0?t??0,2??，
?uuur所以AM??2,t,0.
?uuur??2因为ED???,2,0??2?，
??uuuruuur1所以令AM?ED?0，即?1?2t?0，所以t?.
2所以在BC存在一点M，使得平面PAM?平面EFD，且
BM1?. BC4
18．解：（Ⅰ）函数f?x?的定义域为?0,???，
2x2?ax?a2?x?a??2x?a?f??x???.
xx由f??x??0，可得x?a或x??a， 2当a?0时，f??x??0在?0,+??上恒成立，
所以f?x?的单调递增区间是?0,+??，没有单调递减区间； 当a?0时，x,f??x?,f?x?的变化情况如下表：
所以f?x?的单调递减区间是?0,a?，单调递增区间是?a,???.
当a?0时，x,f??x?,f?x?的变化情况如下表：
所以f?x?的单调递减区间是?0,???a??a?，单调递增区间是???,???. 2??2?（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a?0时，f?x??x2?0，符合题意.
当a?0时，f?x?的单调递减区间是?0,a?，单调递增区间是?a,???， 所以f?x??0恒成立等价于f?x?min?0，即f?a??0， 所以a?a?alna?0，所以0?a?1. 当a?0时，f?x?的单调递减区间是?0,?222??a??a??,??，单调递增区间是???，
2?2???a???0. ?2?所以f?x??0恒成立等价于f?x?min?0，即f??3a2a2?a?2??aln????0，所以?2e4?a?0. 所以42?2?3??综上所述，实数a的取值范围是??2e4,1?.
??19．解：（Ⅰ）因为动点P到点F?1,0?的距离和它到直线x??1的距离相等， 所以动点P的轨迹是以点F?1,0?为焦点，直线x??1为准线的抛物线. 设C的方程为y?2px， 则
2p?1，即p?2. 22所以C的轨迹方程为y?4x.
?m2??m2?,m?，则B??2,0?， （Ⅱ）设A??4??4?所以直线AB的斜率为k?mm??. ?22mx?b， 2设与AB平行，且与抛物线C相切的直线为y???y2?4x?2由?得my?8y?8b?0， m?y??x?b?2由??64?4?m?8b?0得b??所以y??2， m4?4?4，所以点D?2,??.
m?m?m4m4?2，即m??2时，直线AD的方程为y?m?2m当4mm4?24m4m整理得y?2?x?1?，
m?42m??m2??x??，
4??所以直线AD过点?1,0?.
m24?2，即m??2时，直线AD的方程为x?1，过点?1,0?， 当4m综上所述，直线AD过定点?1,0?.
20．解：（Ⅰ）a3?5a2?3a1?7，
a4?5a3?3a2?29， a5?a4?a3?22.
所以a3?7，a4?29，a5?22.
（Ⅱ）（i）当a1,a2都是偶数时，a1?a2是偶数，代入5an?1?3an?2得到a3是偶数； 因为a2?a3是偶数，代入5an?1?3an?2得到a4是偶数；
北京市丰台区2018届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
