丰台区2017~2024学年度第一学期期末练习
高三数学（理科）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． “x?1”是“2x?1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合A???1,0,1?，B?xx2?1，则AUB?（ ）
A．??1,1? B．??1,0,1? C．x?1?x?1 D．xx?1
3．在极坐标系Ox中，方程??sin?表示的曲线是（ ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
???????x?y?1,?4．若x,y满足?x?y?1,则z?x?2y的最大值是（ ）
?x?0,?A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的x的值在区间??2,?1.5?内，那么输出的y属于（ ）
A．?0,0.5? B．?0,0.5? C．?0.5,1? D．?0.5,1? 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）
A．2 B．5 C．22 D．3
x2y27．过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的一个焦点F作一条与其渐近线垂直的直线，垂足
ab为A,O为坐标原点，若OA?1OF，则此双曲线的离心率为（ ） 2A．2 B．3 C．2 D．5 8．全集U???x,y?x?Z,y?Z?，非空集合S?U，且S中的点在平面直角坐标系xOy内形成的图形关于x轴、y轴和直线y?x均对称.下列命题： ①若?1,3??S，则??1,?3??S； ②若?0,4??S，则S中至少有8个元素； ③若?0,0??S，则S中元素的个数一定为偶数； ④若
??x,y?x?y?4,x?Z,y?Z??S，则??x,y?x?y?4,x?Z,y?Z?S.
?其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
rrrrr9．已知单位向量a,b的夹角为120°，则a?b?a? ．
??10．若复数z??1?i??1?ai?在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a? ．
11．在?2?x?的展开式中，x项的系数是 （用数字作答）．
3512．等差数列?an?的公差为2，且a2,a4,a8成等比数列，那么a1? ，数列?an?的前9项和S9? ．
13．能够说明“方程?m?1?x2??3?m?y2??m?1??3?m?的曲线是椭圆”为假命题的一个m的值是 ．
??xsinx,0?x??,14．已知函数f?x???g?x??f?x??kx?k?R?.
??x,x??,①当k?1时，函数g?x?有 个零点；
②若函数g?x?有三个零点，则k的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．在?ABC中，3sin2B?2sinB． （Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若a?4，S?ABC?63，求b的值.
16．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.
2
根据表中数据估计，该校4000名学生中约有120名这4次活动均未参加. （Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）从该校4000名学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；
（Ⅲ）已知学生每次参加公益活动可获得10个公益积分，任取该校一名学生，记该生2017年12月获得的公益积分为X，求随机变量X的分布列和数学期望E?X?.
17．在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA?底面ABCD，E,F分别是
AB,PC的中点，PA?AD?2，CD?2. （Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求PC与平面EFD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱BC上是否存在一点M，使得平面PAM?平面EFD？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.
BM的BC
18．已知函数f?x??x?ax?alnx?a?R?.
22（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；
（Ⅱ）若f?x??0恒成立，求实数a的取值范围.
19．在平面直角坐标系xOy中，动点P到点F?1,0?的距离和它到直线x??1的距离相等，记点P的轨迹为C. （Ⅰ）求C得方程；
（Ⅱ）设点A在曲线C上，x轴上一点B（在点F右侧）满足AF?FB.平行于AB的直线与曲线C相切于点D，试判断直线AD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
20．在数列?an?中，若a1,a2是整数，且an????5an?1?3an?2,an?1?an?2为偶数，*（n?N，
??an?1?an?2,an?1?an?2为奇数,且n?3）.
（Ⅰ）若a1?1，a2?2，写出a3,a4,a5的值；
（Ⅱ）若在数列?an?的前2024项中，奇数的个数为t，求t得最大值；
*（Ⅲ）若数列?an?中，a1是奇数，a2?3a1，证明：对任意n?N，an不是4的倍数.
丰台区2017-2024学年度第一学期期末练习2024.01
高三数学（理科）答案及评分参考
一、选择题
1-4: ACBD 5-8:ADCC
二、填空题
9．
1 10．1 11．-40 212．2，90 13．m????,1?U?2?U?3,???中任取一值即为正确答案
???14．1，?0,???
??三、解答题
15．解：（Ⅰ）因为3sin2B?2sinB， 所以23sinBcosB?2sinB. 因为0?B??，所以sinB?0， 所以tanB?3， 所以B?22?3.
（Ⅱ）由S?ABC?63，a?4，B?得
?3，
1??4?c?sin?63. 23解得c?6.
由余弦定理可得b?4?6?2?4?6?cos解得b?27. 16．解：（Ⅰ）依题意
222?3?28，
b200，所以b?3. ?1004000
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