1.如图,抛物线y??x?bx?c与x轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.(12杭州模拟)
C
AB
解:(1)将A(1,0),B(-3,0)代y??x?bx?c中得
22??1?b?c=0 ???9?3b?c?0?b??2∴?
c?3? ∴抛物线解析式为:y??x?2x?3 (2)存在
理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x??1对称
∴直线BC与x??1的交点即为Q点, 此时△AQC周长最小 ∵y??x?2x?3 ∴C的坐标为:(0,3) 直线BC解析式为:y?x?3
22?x??1 Q点坐标即为?的解
y?x?3?
∴??x??1
?y?2∴Q(-1,2)
yCPyC Q BA OxBEO (2) (3)
(3)答:存在。 理由如下: 设P点(x,?x2?2x?3) (?3?x?0) ∵S9?BPC?S四边形BPCO?S?BOC?S四边形BPCO?2 若S四边形BPCO有最大值,则S?BPC就最大, ∴S四边形BPCO=SRt?BPE?S直角梯形PEOC
?12BE?PE?12OE(PE?OC) =12(x?3)(?x2?2x?3)?12(?x)(?x2?2x?3?3)
=?32(x?39272)2?2?8
当x??32时,S927四边形BPCO最大值=2?8
∴S927927?BPC最大=2?8?2?8 当x??32时,?x2?2x?3?154
∴点P坐标为(?32, 154)
1.备用答案:
解:(1) 将(–3,1),(0,–2)代入得:??1?9a?3a?b?1?解得?a?2 ????2?b??b??2Ax∴ 抛物线的解析式为:y?121x?x?2 22 (2) 过B作BE⊥x轴于E,则E(–3,0),易证△BEC≌△COA
∴ BE = AO = 2 CO = 1 ∴ C(–1,0)
(3) 延长BC到P,使CP = BC,连结AP,
则△ACP为以AC为直角边的等腰直角三角形 过P作PF⊥x轴于F,易证△BEC≌△DFC ∴ CF = CE = 2 PF= BE = 1 ∴ P(1,– 1)
将(1,– 1)代入抛物线的解析式满足 若?CAP?90?,AC = AP 则四边形ABCP为平行四边形
过P作PG⊥y轴于G,易证△PGA≌△CEB ∴ PG = 2 AG = 1 ∴ P(2,1)在抛物线上
∴ 存在P(1,– 1),(2,1)满足条件
2.(本小题满分12分)
如图①, 已知抛物线y?ax?bx?3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y
2轴交于点C.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点N ,问在对称轴上是否存在点P,使△CNP为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 如图②,若点E为第三象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.08
2y2y
-5BN-20Ax5B-20A10x5151C-4-4C图① 图②
(1) 设每年的平均增长率为x,144(1+x)=225,x=1/4 或 x=-9/4 (舍去) (2)
225×(1+1/4)=281 (2) (1) 设可建室内车位个,露天车位b 个,
3a≤b≤4.5a 6000a+2000b=250000
250125≤ a≤ (2) 36a=17,b=74; a=18,b=71; a=19,b=68; a=20,b=65 (4) 24.(本小题满分12分)
如图①, 已知抛物线y?ax?bx?3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B (-3,0),与y
2轴交于点C.
(1) y=x2+2x-3 (2) (2)P(-1,10),P(-1,-
510),P(-1,-6),P(-1,-) (4)
3(3) S=1/2×3×(-x2-2x+3)+ 1/2×3×(-x)
S=-3/2(x+3/2)2+63/8
X=-3/2 , S=63/8 (5) E(-3/2,-15/4) (1)
3.(本小题满分12分)(原创)
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y?x-2x-4与直线y?x交于点A、B,M是抛物线上一个动点,连接OM。
(1) 当M为抛物线的顶点时,求△OMB的面积;
(2) 当点M在抛物线上,△OMB的面积为10时,求点M的坐标; (3) 当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧,M运动到何处时,△OMB的面积最大;09
_ A_ y_ B 2_ O_ x_ M
中考水平宽铅垂高法求面积最大值(带答案)
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