圆的第二定义——阿波罗尼斯圆
一、问题背景
苏教版《数学必修2》P112第12题:
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已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为,那么点M的坐标应满足什么关系?
2画出满足条件的点M所构成的曲线. 二、阿波罗尼斯圆
公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图,点A,B为两定点,动点P满足PA=λPB.
则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ≠1时,动点P的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆.
证:设AB=2m(m>0),PA=λPB,以AB中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则A(-m,0),B(m,0).
又设P(x,y),则由PA=λPB得?x+m?+y=λ?x-m?+y,
两边平方并化简整理得(λ-1)x-2m(λ+1)x+(λ-1)y=m(1-λ). 当λ=1时,x=0,轨迹为线段AB的垂直平分线;
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?λ+1?224λm,轨迹为以点?λ2+1m,0?为圆心,?2λm?为半
当λ>1时,?x-2m?+y=22????2
?λ-1??λ-1??λ-1??λ-1?
1
2222
径的圆.
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理. 三、阿波罗尼斯圆的性质
1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点.
2.直线CM平分∠ACB,直线CN平分∠ACB的外角. 3.=. 4.CM⊥CN.
AMANBMBN
5.当λ>1时,点B在圆O内; 当0<λ<1时,点A在圆O内.
6.若AC,AD是切线,则CD与AO的交点即为B.
7.若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF,则AB平分∠EAF. 四、范例欣赏
例1 设A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹. 解 设动点P的坐标为(x,y),
22PA?x+c?+y由=a(a>0),得=a. 22PB?x-c?+y化简得(1-a)x+2c(1+a)x+c(1-a)+(1-a)y=0.
2
2c?1+a??1+a??2ac?2
当a≠1时,得x+x+c2+y2=0,整理得?x-2c?2+y2=?2?2. 2
1-a?a-1??a-1?
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2222222
当a=1时,化简得x=0.
?a+1?所以当a≠1时,P点的轨迹是以?2c,0?为圆心,
?a-1?
ac??2
?a2-1?为半径的圆; ??
当a=1时,P点的轨迹为y轴.
例2 如图,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,
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N分别为切点),使得PM=2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.
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江苏省高考数学二轮复习专题五解析几何高考提能圆的第二定义——阿波罗斯圆学案
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