圆的第二定义——阿波罗尼斯圆
一、问题背景
苏教版《数学必修2》P112第12题：
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已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？
2画出满足条件的点M所构成的曲线． 二、阿波罗尼斯圆
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆． 如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证：设AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m,0)，B(m,0)．
又设P(x，y)，则由PA＝λPB得?x＋m?＋y＝λ?x－m?＋y，
两边平方并化简整理得(λ－1)x－2m(λ＋1)x＋(λ－1)y＝m(1－λ)． 当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
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?λ＋1?224λm，轨迹为以点?λ2＋1m，0?为圆心，?2λm?为半
当λ＞1时，?x－2m?＋y＝22????2
?λ－1??λ－1??λ－1??λ－1?
1
2222
径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理． 三、阿波罗尼斯圆的性质
1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点．
2．直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角． 3.＝. 4．CM⊥CN.
AMANBMBN
5．当λ＞1时，点B在圆O内； 当0＜λ＜1时，点A在圆O内．
6．若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.
7．若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF. 四、范例欣赏
例1 设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹． 解 设动点P的坐标为(x，y)，
22PA?x＋c?＋y由＝a(a＞0)，得＝a. 22PB?x－c?＋y化简得(1－a)x＋2c(1＋a)x＋c(1－a)＋(1－a)y＝0.
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2c?1＋a??1＋a??2ac?2
当a≠1时，得x＋x＋c2＋y2＝0，整理得?x－2c?2＋y2＝?2?2. 2
1－a?a－1??a－1?
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2222222
当a＝1时，化简得x＝0.
?a＋1?所以当a≠1时，P点的轨迹是以?2c，0?为圆心，
?a－1?
ac??2
?a2－1?为半径的圆； ??
当a＝1时，P点的轨迹为y轴．
例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，
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N分别为切点)，使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
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江苏省高考数学二轮复习专题五解析几何高考提能圆的第二定义——阿波罗斯圆学案
