圆锥曲线二级推论
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦
两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶
点在直线PT上的射影H点的轨迹是以
点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q
长轴为直径的圆，除去长轴的两个端
交于点N，则MF⊥NF.
点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0abxxyy的椭圆的切线方程是02?02?1.
abx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过
abx2y211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴
ab的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则
b2kOM?kAB??2，
ab2x0即KAB??2。
ay0双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
abPo作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. 2abx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点
ab分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点角形的面积为S?FPF?b2tan.
12?28. 椭圆
xy??1（a＞b＞0）的焦半径公a2b222式：
|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,
F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、
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圆锥曲线二级推论
0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切
x0xy0y?2?1. 2abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab为AB的中点，则KOM?KAB即KABb2x0?2。 ay0线方程是
b2x0?2，ay00,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. a2bx2y27. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左
abx2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab0,b＞0）内，则被Po所平分的中点
x0xy0yx02y02弦的方程是2?2?2?2.
ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞
ab右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲线的焦点角形的面积为S?FPF?b2cot.
120,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨
x2y2x0xy0y迹方程是2?2?2?2.
abab?2x2y28. 双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦
ab半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)
椭圆与双曲线的对偶性质--椭 圆
x2y21. 椭圆2?2?1（a＞b＞o）的两个顶
ab点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的
当M(x0,y0)在右支上时，
|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a.
当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11. AB是双曲线
xy??1（a＞0,b＞0）a2b2的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)22直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2
x2y2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22. 过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任
ab一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互
补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23. 若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上
ab异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，则
a?c???tancot. a?c22x2y24. 设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个
ab焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）
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圆锥曲线二级推论
为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,
?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?sin??sin??ca?e.
5. 若椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）的左、
右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）上任
一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且
仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
7. 椭圆(x?x0)2(y?y0a2?)2b2?1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件
是A2a2?B2b2?(Ax0?By20?C).
8. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0），O
为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，
且OP?OQ. 1)
1|OP|2?1|OQ|2?11a2?b2; 2) |OP|2
+|OQ|2
的最大值为4a2b2a2?b2;
3) Sa2b2?OPQ的最小值是a2?b2.
9. 过椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）的右焦
3 / 14点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|PF||MN|?e2. 10. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b＞0）
,A、B、是椭圆上的两点，线段
AB的垂直平分线与x轴相交于点
xa2?b2a2?b2P(0,0), 则?a?x0?a.
11. 设P点是椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b＞0）
上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
1) |PF2b21||PF2|?1?cos?.
2) S?PF1F2?b2tan?2.
12. 设A、B是椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b
＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)|PA|?2ab2|cos?|a2?c2cos2?.(2)
tan?tan??1?e2.(3)
S?PAB?2a2b2b2?a2cot?. 13. 已知椭圆x2y2a2?b2?1（ a＞b＞0）的
右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
圆锥曲线二级推论
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点
的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆与双曲线的对偶性
质--双曲线
1. 双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，
与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹
方程是x2y2a2?b2?1.
2. 过双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞o）
4 / 14上任一点A(x0,y0)任意作两条倾
斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且
kBC??b2x0a2y（常数）. 03. 若P为双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b
＞0）右（或左）支上除顶点外
的任一点,F1, F 2是焦点,
?PF1F2??, ?PF2F1??，则
c?a??c?a?tan2cot2（或c?ac?a?tan??2cot2）. 4. 设双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记?F1PF2??,
?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin??(sin??sin?)?ca?e.
5. 若双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞
圆锥曲线二级推论
0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y
轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
与直线Ax?By?C?0有公共点
的充要条件是A2a2?B2b2?C2.
8. 已知双曲线x2y2a2?b2?1（b＞a ＞
0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ. （1）
1|OP|2?111|OQ|2?a2?b2; （2）|OP|2
+|OQ|2
的最小值为4a2b2b2?a2;
（3）a2b2S?OPQ的最小值是b2?a2.
9. 过双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞0）
的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
|PF||MN|?e2. 10. 已知双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞
0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相
交于点a2?b2P(x0,0), 则x0?a或
??a2?b2x0a.
11. 设P点是双曲线x2y2a2?b2?1（a＞
0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，
则(1)|PF?2b21||PF2|1?cos?.(2)
5 / 14S??PF1F2?b2cot2.
12. 设A、B是双曲线x2y2a2?b2?1（a
＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,
?PBA??,?BPA??，
c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
1) |PA|?2ab2|cos?||a2?c2cos2?|.
2) tan?tan??1?e2. 3) S2a2b2?PAB?b2?a2cot?. 13. 已知双曲线x2y2a2?b2?1（a＞0,b＞
0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(word完整版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
