当a?0，且b2?3ac?0时，
此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增. ②当a?0，且b2?3ac?0时，
设方程f?(x)?3ax2?2bx?c?0的两根分别为x1,x2，且x1?x2，
当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x1?x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递增； 当f?(x)?3ax2?2bx?c?0，即x?x1或x?x2时，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减. 当a?0，且b2?3ac?0时， 此时f?(x)?3ax2?2bx?c?0，函数f(x)?ax3?bx2?cx?d单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4A组（P37） 1、设两段铁丝的长度分别为x，l?x，则这两个正方形的边长分别为xl?x，，两个正方形的面积和44xl?x21为S?f(x)?()2?()?(2x2?2lx?l2)，0?x?l. 4416l令f?(x)?0，即4x?2l?0，x?. 2ll当x?(0,)时，f?(x)?0；当x?(,l)时，f?(x)?0. 22l因此，x?是函数f(x)的极小值点，也是最小值点. 2l所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小. 22、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去 四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为a?2x，高为x. a（1）无盖方盒的容积V(x)?(a?2x)2x，0?x?. 2（2）因为V(x)?4x3?4ax2?a2x， 所以V?(x)?12x2?8ax?a2. xaaa（舍去），或x?. 26aaa当x?(0,)时，V?(x)?0；当x?(,)时，V?(x)?0.
662a因此，x?是函数V(x)的极大值点，也是最大值点.
6a所以，当x?时，无盖方盒的容积最大.
6令V?(x)?0，得x?（第2题）
3、如图，设圆柱的高为h，底半径为R， 则表面积S?2?Rh?2?R2 RV. 2?RV2V22因此，S(R)?2?R，R?0. ?2?R??2?R2?RR由V??R2h，得h?令S?(R)??h2VV. ?4?R?0，解得R?3R2?当R?(0,3V)时，S?(R)?0； 2?（第3题） 当R?(3V,??)时，S?(R)?0. 2?3因此，R?VVV3是函数S(R)的极小值点，也是最小值点.此时，h??2?2R. 2??R22?所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 1n2n24、证明：由于f(x)??(x?ai)，所以f?(x)??(x?ai). ni?1ni?11n令f?(x)?0，得x??ai， ni?11n可以得到，x??ai是函数f(x)的极小值点，也是最小值点. ni?11n这个结果说明，用n个数据的平均值?ai表示这个物体的长度是合理的， ni?1这就是最小二乘法的基本原理. ?x22x5、设矩形的底宽为xm，则半圆的半径为m，半圆的面积为m， 82矩形的面积为a??x2a?xm2，矩形的另一边长为(?)m 8x8因此铁丝的长为l(x)??x2?x?2a?x?2a8a??(1?)x?，0?x? x44x?令l?(x)?1??4?2a8a?0，得（负值舍去）. x?x24??
当x?(0,8a8a8a)时，l?(x)?0；当x?(,)时，l?(x)?0. 4??4???8a是函数l(x)的极小值点，也是最小值点. 4??8am时，所用材料最省. 4??因此，x?所以，当底宽为6、利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘单价. 由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润. 11收入R?q?p?q(25?q)?25q?q2， 8811利润L?R?C?(25q?q2)?(100?4q)??q2?21q?100，0?q?200. 881求导得L???q?21 41令L??0，即?q?21?0，q?84. 4当q?(0,84)时，L??0；当q?(84,200)时，L??0； 因此，q?84是函数L的极大值点，也是最大值点. 所以，产量为84时，利润L最大, 习题1.4B组（P37） 1、设每个房间每天的定价为x元， x?1801那么宾馆利润L(x)?(50?)(x?20)??x2?70x?1360，180?x?680. 10101令L?(x)??x?70?0，解得x?350. 5当x?(180,350)时，L?(x)?0；当x?(350,680)时，L?(x)?0. 因此，x?350是函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x元／件时，
b?x45b利润L(x)?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x)，a?x?.
4bb8c4ac?5bc4a?5b令L?(x)??x?. ?0，解得x?8bb4a?5b4a?5b5b)时，L?(x)?0；当x?(,)时，L?(x)?0. 当x?(a,8844a?5b当x?是函数L(x)的极大值点，也是最大值点.
84a?5b所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
8
1．5定积分的概念 练习（P42） 8. 3说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）
ii1i121、?si??si??v()?t?[?()2?2]???()2???，i?1,2,,n.
nnnnnni于是s???si???si???v()?t
ni?1i?1i?1取极值，得 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 222、km. 3说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48） nnn?20x3dx?4.说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义. 从几何上看，表示由曲线y?x3与直线x?0，x?2，y?0所围成的曲边梯形的面积S?4. 习题1.5A组（P50） 1、（1）?(x?1)dx??[(1?1i?12100i?11)?1]??0.495； 100100（2）?(x?1)dx??[(1?1i?12500i?11)?1]??0.499； 500500i?11)?1]??0.4995. 10001000（3）?(x?1)dx??[(1?1i?121000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18?1?12?1?7?1?3?1?0?1?40（m）； 距离的过剩近似值为：27?1?18?1?12?1?7?1?3?1?67（m）. 3、证明：令f(x)?1.用分点a?x0?x1??xi?1?xi??xn?b ,n)
将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点?i(i?1,2,作和式?f(?i)?x??i?1i?1nnb?a?b?a， n从而?1dx?lim?an??i?1bnb?a?b?a， n1说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，?01?x2dx表示由直线x?0，x?1，y?0以及曲线y?1?x2所围成的
曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此?015、（1）?x3dx??.
?14101?x2dx??4.
由于在区间[?1,0]上x3?0，所以定积分?x3dx表示由直线x?0，x??1，y?0和曲线y?x3所围成
?10的曲边梯形的面积的相反数.
11（2）根据定积分的性质，得?xdx??xdx??x3dx????0.
?1?104413031由于在区间[?1,0]上x?0，在区间[0,1]上x?0，所以定积分?x3dx等于位于x轴上方的曲边梯形面
33?11积减去位于x轴下方的曲边梯形面积. 202115（3）根据定积分的性质，得?x3dx??x3dx??x3dx???4? ?1?1044由于在区间[?1,0]上x?0，在区间[0,2]上x?0，所以定积分?x3dx等于位于x轴上方的曲边梯形面33?12积减去位于x轴下方的曲边梯形面积. 说明：在（3）中，由于x3在区间[?1,0]上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[?1,2]分成n等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦.利用性质3可以将定积分?xdx化为?xdx??x3dx，这样，x3在区间[?1,0]和区间[0,2]上
3?12032?10的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出?x3dx，?x3dx，进而得到定积分?x3dx的值.
?10?1022由此可见，利用定积分的性质可以化简运算. 在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5B组（P50） 1、该物体在t?0到t?6（单位：s）之间走过的路程大约为145m. 说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）v?9.81t. i118?9?88.29（m）（2）过剩近似值：?9.81???9.81??； 2242i?1不足近似值：?9.81?i?1488i?1118?7??9.81???68.67（m） 2242（3）?9.81tdt；?9.81tdt?78.48（m）.
0403、（1）分割
在区间[0,l]上等间隔地插入n?1个分点，将它分成n个小区间：
ll2l(n?2)l[0,]，[,]，……，[,l]， nnnn记第i个区间为[(i?1)lil,]（i?1,2,nnn），其长度为
人教版高中数学选修2-1、2-2、2-3课后习题参考答案 - 图文
