2021届高考数学（理）考点复习
函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 定义 当x1
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间． 2．函数的最值
前提 条件 (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M 结论
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
f ?x1?－f ?x2?提示 对?x1，x2∈D，x1≠x2，>0?f (x)在D上是增函数；对?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－
x1－x2
M为最大值 (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M M为最小值 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M； (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；
x2)·[f (x1)－f (x2)]>0?f (x)在D上是增函数．减函数类似． a
2．写出函数y＝x＋(a>0)的增区间．
x提示 (－∞，－a]和[a，＋∞)．
1．（2020·新课标Ⅱ）设函数f(x)?ln|2x?1|?ln|2x?1|，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在(,??)单调递增
12B. 是奇函数，且在(?,)单调递减
11221C. 是偶函数，且在(??,?)单调递增
2【答案】D 【解析】由
1D. 是奇函数，且在(??,?)单调递减
2f?x??ln2x?1?ln2x?1得f?x?定义域为?xx???，关于坐标原点对称，
??1?2?又
f??x??ln1?2x?ln?2x?1?ln2x?1?ln2x?1??f?x?，
?f?x?为定义域上的奇函数，可排除AC；
当x????11?,?时，f?x??ln?2x?1??ln?1?2x?， 22???11????11???y?ln?2x?1?在??,?上单调递增，y?ln?1?2x?在??,?上单调递减，
2222?f?x?在??,?上单调递增，排除B；
22当x????,??11?????1?2x?12??fx?ln?2x?1?ln1?2x?ln?ln1???????时，??， ?2?2x?1?2x?1???1?1?2?在???,??上单调递减，f????ln?在定义域内单调递增，
2?2x?1???1??上单调递减，D正确. 2?根据复合函数单调性可知：f?x?在???,?2．（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 【答案】f(x)??(x?) （答案不唯一）
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【解析】对于f(x)??(x?)，其图象的对称轴为x?则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立， 但f（x）在［0，2］上不是单调函数.
3223， 21．（2019?平谷区一模）下列函数中，在区间(0,??)上为增函数的是( ) A．y?1 xB．y?lnx C．y?sinx
D．y?2?x
【答案】B
【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，y?1，为反比例函数，在(0,??)上为减函数，不符合题意； x对于B，y?lnx，为指数函数，在区间(0,??)上为增函数，符合题意； 对于C，y?sinx，为正弦函数，在(0,??)上不是单调函数，不符合题意； 1对于D，y?2?x?()x，是指数函数，在(0,??)上为减函数，不符合题意；
2故选B．
2．（2019?西城区一模）下列函数中，值域为R且在区间(0,??)上单调递增的是( ) A．y?x2?2x 【答案】C
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，y?x2?2x?(x?1)2?1，其值域为[?1，??)，不符合题意； 对于B，y?2x?1，其值域为(0,??)，不符合题意；
对于C，y?x3?1，值域为R且在区间(0,??)上单调递增，符合题意； ?x2?x,x01对于D，y?(x?1)|x|??2，在区间(0,)上为减函数，不符合题意；
2??x?x,x?0B．y?2x?1 C．y?x3?1
D．y?(x?1)|x|
故选C．
3．（2016?安庆三模）若函数f(x)?x2?a|x|?2，x?R在区间[3，??)和[?2，?1]上均为增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[?11，?3] 3B．[?6，?4] C．[?3，?22] D．[?4，?3]
【答案】B
2021届高考数学(理)考点复习：函数的单调性与最值(含解析)
