1ex即a?，对?x?[,e]恒成立， ………………3分
exex(x?1)ex令g(x)?,g?(x)?，
xx2当0?x?1时，g?(x)?0,当x?1时，g?(x)?0,
所以函数g(x)在[,1)上单调递减，在(1,e]上单调递增，
1e111?11e?1e?1由g()?ee，g(e)?e，ee?1?e1?e，得区间[,e]上g(x)max?e，
ee所以a?ee?1． ………………6分 （Ⅱ）：
ex?axf'(x)?xex(x?0)，
xx设h(x)?e?ax(x?0)，则h'(x)?e?a，由x?0得ex?1， ……………
7分
(1)当a?1时，h'(x)?0，h(x)递增，h(x)?h(0)?1，
得f'(x)?0，f(x)递增，f(x)在区间(0,??)内无极值点； ………………8分 (2)当a?1时，由h'(x)?e?a?0得x?lna，
x可知h(x)在(0,lna)内递减，在(lna,??)内递增，所以
h(x)min?h(lna)?a(1?lna)， ………………10分
①当1?a?e时，h(x)?h(x)min?0，
得f'(x)?0，f(x)递增，f(x)在区间(0,??)内无极值点； ………………11分
②当a?e时，h(x)min?0，又h(0)?0，x很大时h(x)?0，
所以存在x1?(0,lna)，x2?(lna,??)，使得h(x1)?0，h(x2)?0， 即f'(x1)?0，f'(x2)?0，可知在x1,x2两边f'(x)的符号相反， ……………12分
所以函数f(x)有两个极值点x1,x2，综上可知：当a?e时，函数f(x)无极值点 当a?e时，函数f(x)有两个极值点 ………………13分
【考点】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题. （改编，难题）21.（本题满分14分）
x2y2已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)与y轴的正半轴相交于点M，点F1,F2为椭圆的
ab焦点，且?MF1F2是边长为2的等边三角形，若直线l:y?kx?23与椭圆E交于不同的两点A,B．
（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）求?ABM的面积的最大值．
【解析】（1）因为?MF1F2是边长为2的等边三角形， 所以2c?2，b?3c，a?2，所以a?2,b?3，
x2y2??1，点M(0,3). ………………4分 所以椭圆E：43将直线l:y?kx?23代入椭圆E的方程， 整理得：(3?4k)x?163kx?36?0，（） 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则由（）式可得
22??(163k)2?4(3?4k2)?36?48(4k2?9)?0，
所以k?(??,?)U(,??)，x1?x2??7分
3232163k36，， ……………xx?1223?4k23?4k所以直线MA,MB的斜率之积kMAgkMB?y1?3y2?3 gx1x2?(kx1?3)(kx2?3)3k(x1?x2)?k2??k2?x1x2x1x23k(?163k)?39?36k2123?4k2?k??
36364所以直线MA,MB的斜率之积是定值
1. ………………10分 4（2）记直线l:y?kx?23与y轴的交点为N(0,23)，
则S?ABM?|S?ANM?S?BNM|?31(x1?x2)2?4x1x2 |MN||x2?x1|?2264k2?93?163k236??()?4g?2223?4k23?4k3?4k64k2?9?124k2?9?3……132分
当且仅当4k2?9?12，即k??2133?(??,?)U(,??)时等号成立. 2223. ………………14分 2所以?ABM的面积的最大值为
【考点】本题考查求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，同时还考查三角形的面积的最值．
2020-2021学年(全国卷)高考冲刺模拟(四)数学(文)试卷及答案解析
