1. (1、2) （数学、初中竞赛、函数与最值、选择题）
多项式x2?x+1的最小值是 ( )
513
A.1 B. C. D. 424分析：x2?x+1=(x?2)2+4? 详解：D
技巧：求最值的方法之一，即为把原式的未知数转化成完全平方的形式. 易错点：此题容易把最小值当成是x=0时的情况
2. (1、2) （数学、初中竞赛、函数与最值、选择题）
在Rt△ABC中，斜边c=10，两直角边a≤8，b≥8，则a+b的最大值是 （ ）
A.10√2 B.14 C.8√3 D.16
分析：依题意得a2+b2=100.于是(a+b)2=a2+b2+2ab=100+2ab.
故只需求ab的最大值.
设m=a2b2=b2(100?b2)=?b4+100b2=2500?(b2?50)2， 而64≤b2<100，则当b2=64，即b=8时， mmax=64×36.因此(ab)max=8×6=48.所以
(a+b)max=√100+2×48=14. 详解：B
技巧：利用勾股定理结合平方和公式，可简便解题.
3. (2、3) （数学、初中竞赛、函数与最值、选择题）
设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数y=(a?2)x2?cx?a?2在x=1时取最小值?5b，则△ABC是 ( )
b
b
8
1
3
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
2a?b>0 ?c
b+c=2a?b=1， 即{ ， 32(a?)分析：由题意可得2c=b 5bb8
a??c?a?=?b{225
所以c=5b，a=5b，
因此有a2+c2=b2，从而可知△ABC是直角三角形. 详解：D
技巧：根据二次函数的定义和二次函数的最值解题，形如f(x)= ax2+bx+c(a≠0)的函数叫一元二次函数，当x=?2a时，函数有最值b
4ac?b24a
3
4
.
易错点：二次函数的二次项的系数不能为0
4. (2、3) （数学、初中竞赛、函数与最值、填空题）
已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=6，则a的最大值为______ . 分析：c=?(a+b)，则a2+b2+[?(a+b)]2=6，即b2+ab+a2?3=0，
我们把b当作未知数，那么在一元二次方程b2+ab+a2?3=0，存在实数解， 从而Δ=a2?4(a2?3)=?12a2+48≥0，?2≤a≤2.所以a的最大值为2. 详解：2
技巧：有时候用一元二次方程的判别式来分析题目，会有意想不到的收获.
5. (4、5) （数学、初中竞赛、函数与最值、填空题） 函数f(x)=√x2+1+√(4?x)2+4的最小值是______ . 分析： 如图所示：AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB，
DC1AE1xO4-x2B1FAC=1，BD=2，设OA=x，则OC=√x+1，OD=√(4?x)2+4，即在AB上求一点O，使OC+OD最小，设E为C关于AB的对称点， OC+OD=OE+OD， 根据两点之间直线最短，所以最短的距离就为DE，
做矩形ABFE，那么EF=AB=4，DF=BF+BD=3 ，根据勾股定理DE=√EF2+DF2=5 即最小值为5 详解：5
技巧：解此类函数题，我们可以作图，根据数形结合解决问题. 易错点：在数形结合中，根据题意做两点间的距离，记得先做对应点.
6. (3、4) （数学、初中竞赛、函数与最值、填空题） 设a，b是正整数，满足???????+3??=63.，那么??+2??的最小值______.
分析：???????+3??=63?(??+3)(???1)=60，(??+3)(2???2)=120.要求??+2??的最小值，可先求(??+3)+(2???2)的最小值，此最小值出现在??+3和2???2的差的绝对值最小的时候.
??+3=10 ??+3=12
也就是:{或 {的情形，
2???2=122???2=10
??=7 ??=9
解得{或{?.都可推得??+2??=21，这就是所求的最小值.
??=7??=6详解：21
技巧：补证：已知????=??为固定的正数， ??，??>0，则x，y的差的绝对值越小， ??+??就越小，这是因为(??+??)2=(?????)2+4????=|?????|2+4?? 易错点：需要看清题意，a，b是正整数.
7. (3、4) （数学、初中竞赛、函数与最值、解答题）
2
设??1，??2是方程2??2?4????+2??2+3???2=0的两个实根，当m为何值时， ??21+??2有最小
值，并求这个最小值.
分析：我们知道方程有2个实根，那么方程的判别式就大于0；利用韦达定理，我们可以将
2所求式用m来表示；在m的取值范围内，讨论??2
1+??2的最小值.
详解：因为原方程有两个实根，所以?=(?4m)2?4×2×(2m2+3m?2)?0 解得：m? ； 根据韦达定理x1+x2=2m，x1x2=
3
2
(x1+x2)2=??21+??2+2x1x2
222
=??21+??2+2m+3m?2=4m
222
所以 ??21+??2=2m?3m+2=2(m?4)+8 2 因为当m<时，??21+??2随着m的增大而减小，故m?时，当m=时，有
4
3
3
2 （??21+??2)min=9
2答：当m为时， ??21+??2有最小值，最小值为 .
3
9
2
8
83
2
2
3
7
2
2m2+3m?2
3
，
技巧：利用二次函数的单调性，来求最大或最小值.
易错点：不能直接求出解析式后即讨论最小值而不讨论m的取值范围，需要在m取值范围上求原式的最小值.
8. (4、5) （数学、初中竞赛、函数与最值、解答题）
已知二次函数??=(??2???+1)??2+????+6??的图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，
1
3 其顶点横坐标为，设??=??31+??2.
2
1
(1)试用a把t表示出来；
(2)问：当实数a取何值时，t取最小值，最小值是多少？ 分析：
详解：(1)二次函数的顶点横坐标为 –2(??2???+1)=2，所以b=?(??2???+1) 根据韦达定理??1+??2=–
b(??2???+1)
b
1
=1，??1??2=
??
6
??2???+1
=
??
6(??2???+1)
3
??=??31+??2
=(??1+??2)3?3??1??2(??1+??2)
=1?3??1??2
=1?3?
??
6(??2???+1)2??2?3??+2
=22???2??+2(2)将??=
2??2?3??+22??2?2??+2
变形得2(???1)??2+(3?2??)??+2(???1)=0.显然，
当??=1， ??=0时，
当??≠1时，有??=(3?2??)2?4×2(???1)×2(???1)≥0 即12??2?20??+7≤0，.解不等式得≤??≤?
2
6
1
7
综上所述， ????????=，仅当??=1时取得.
2
1
技巧：熟练的运用二次函数的顶点坐标和韦达定理，然后根据函数的单调性判定函数的最值. 易错点：第二问中，我们需要讨论方程一是否是一元二次方程.如果是一元二次方程，才可用判别式来判定解题.
9. (4、5) （数学、初中竞赛、函数与最值、解答题）
初中培优竞赛 第13讲 函数与最值
