共焦双曲柱面电极的电场及其数值模拟
王 福 谦
【摘 要】将理论分析与计算机数值模拟相结合，利用复势函数法研究共焦双曲柱面电极的电场，给出其电势和场强分布函数。讨论电极形状蜕变的几种特殊情形，并通过软件Matlab画出其电场线和等势线图，以验证研究结果的正确性。为边界形状复杂的电极电场的求解提供了一种新的方法。 【期刊名称】《实验室研究与探索》 【年(卷),期】2019(038)007 【总页数】4
【关键词】共焦双曲柱面电极；复势函数法；电势分布函数；场强分布函数；数值模拟
0 引 言
由复变函数理论可知，解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程，且其实部为常数和虚部为常数的两族曲线互相正交。在静电场中，解析函数的这一特性使其代表一定的平行平面场，其实部和虚部分别代表势函数(或通量函数)和通量函数(或势函数)。不同的解析函数的实部和虚部可描绘出不同的几何图形，如果某一解析函数所给出的几何图形与所讨论问题的边界的等势线或等通量函数线相吻合，则此解析函数的实部或虚部可作为待求势函数(或通量函数)和通量函数(或势函数)的解，即用此解析函数作为所求静电场的复势来求解电场分布。
复势函数法为求解复杂二维边值问题的一种有效方法[1-2]。文献[3-10]中利用复势函数法讨论了非平行板电容器电场、扇形导体中的电场、线电荷与无限大
接地导体板间的电场及共焦椭圆柱电缆的磁场等复杂形状边界的静电场和静磁场的边值问题，但用该方法对复杂形状电极的电场分布的研究，相关文献还未见报道。本文利用复势函数法研究双曲柱面电极的电场，给出其电势分布、场强分布函数及电极顶点处的场强，讨论电极形状蜕变的几种特殊情形，并通过Matlab数据处理软件的数值计算功能进行数值模拟，绘制出其电场线和等势线图。
1 电势函数与通量函数
有一对共焦双曲柱面的电极，其实半轴和虚半轴分别为a1、a2和b1、b2，左侧电极接地，右侧电极的电势为U，其横截面如图1所示。因在垂直于双曲柱面母线的所有截面上的电场分布均相同，故本文所研究的电场为平行平面场。由于本文所讨论的二维边值问题的电势函数满足二维拉普拉斯方程，且其边界与反余弦函数实部所表示的曲线族中的曲线重合，故可选用反余弦函数作为所求静电场的复势[11]，即 W=Aarccos(z/k)+B (1)
可进一步表述为
W=Aw+B=A(u+iv)+B1+B2
令式(1)中的电势函数和通量函数分别为φ和Ψ，则 φ=Au+B1 (2) Ψ=Av+B2 (3)
对图1右侧的双曲线顶点处(a1,0)，式(1)有： U=Aarccos(a1/k)+B1 (4)
对图1左侧的双曲线顶点处(-a2,0)，式(1)有： 0=Aarccos(-a2/k)+B1 (5)
再者，由于式(3)中的附加常数可取任意值，故令 B2=0 (6)
由式(4)～(6)，可得：
故共焦双曲柱面电极电场的复电势为 (9)
共焦双曲柱面电极电场的电势函数和通量函数可分别表示为: (10) (11)
式(1)中的反余弦函数亦可表述为[12]: w=
iln{x+F1cos α+i[y+F1sin α]}-iln k= (xcos α+ysin α)]-iln k (12) 式中:
共焦双曲柱面电极的电场及其数值模拟
