2013年高中数学 1.5 3定积分教案 新人教A版选修2-2
定积分是积分学中的另一个重要概念．我们先从几何学与力学问题出发引进定积分的概念，然后讨论它的性质和计算方法，最后介绍定积分在几何、物理、经济方面的一些应用．
§7.1 定积分的概念
教学目的与要求
1.深刻理解定积分的概念； 2.熟练掌握定积分的性质。 教学重点与难点
定积分的定义与引入背景 一、定积分的实际背景
1、曲边梯形的面积
设y?f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数，由直线x?a，x?b，y?0及曲线
y?f(x)所围成的图形（如下左图），称为曲边梯形，曲线y?f(x)称为曲边．现在求其面
积A．
由于曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是变动的，无法直接用已有的梯形面积公式去计算．但曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是连续变化的，当区间很小时，高f(x)的变化也很小，近似不变．因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上用某一点处的高度近似代替该区间上的小曲边梯形的变高．那么，每个小曲边梯形就可近似看成这样得到的小矩形，从而所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值．如果将区间[a,b]无限细分下去．即让每个小区间的长度都趋于零，这时所有小矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积．其具体做法如下：
- 1 -
（1）首先在区间[a,b]内插入n?1个分点 a?x0?x1?x2?x3???xn?1?xn?b 把区间[a,b]分成n个小区间[xi?1,xi] (i?1,2,?,n)，各小区间[xi?1,xi]的长度依次记为
?xi?xi?xi?1 (i?1,2,?,n)．过各个分点作垂直于x轴的直线，将整个曲边梯形分成n个
小曲边梯形（如上右图），小曲边梯形的面积记为?Ai (i?1,2,?,n)．
（2）在每个小区间[xi?1,xi]上任意取一点?i(xi?1??i?xi)，作以f(?i)为高，底边为
?xi的小矩形，其面积为f(?i)?xi，它可作为同底的小曲边梯形的近似值，即
?Ai?f(?i)?xi (i?1,2,?,n)．
把n个小矩形的面积加起来，就得到整个曲边梯形面积A的近似值：
A???Ai??f(?i)?xi．
i?1i?1nn（3） 记??max{?x1,?x2,?,?xn}，则当??0时，每个小区间[xi?1,xi]的长度?x也趋于零．此时和式
i?f(?)?x的极限便是所求曲边梯形面积A的精确值，即
iii?1nA?lim?f(?i)?xi．
??0i?1n二、定积分的概念
我们看到，虽然曲边梯形面积和变速直线运动路程的实际意义不同，但解决问题的方法却完全相同．概括起来就是：分割、近似、求和、取极限．抛开它们各自所代表的实际意义，抓住共同本质与特点加以概括，就可得到下述定积分的定义．
定义 设函数y?f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]上插入若干个分点
a?x0?x1?x2?x3???xn?1?xn?b，
将区间[a,b]分成n个小区间
[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1,xn]，
各小区间的长度依次记为?xi?xi?xi?1(i?1,2,?,n)，在每个小区间上任取一点
?i(xi?1??i?xi)，作乘积f(?i)?xi(i?1,2,?,n)的和式
- 2 -
?f(?)?x．
iii?1n记??max{?xi}，如果不论对区间[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi?1,xi]上点?i怎样取
1?i?n法，只要当??0时，和式
?f(?)?x总趋于确定的值I，则称f(x)在[a,b]上可积，称此
iii?1n极限值I为函数f(x)在[a,b]上的定积分，记作
?baf(x)dx，即
?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi．
??0i?1n其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间．
关于定积分的定义的说明：
1、定积分表示一个数，它只取决于被积函数f(x)及积分区间[a,b]，与积分变量采用什么字母无关．即
?（1）当a>b时，（2）当a=b时，
baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du．
aabb2、定义中要求a?b，补充如下规定：
??baaaf(x)dx???f(x)dx；
baf(x)dx?0．
3、函数f(x)在[a,b]上满足什么条件一定可积？
定理（充分条件） 若f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积；若f(x)在区间[a,b]上有界，且仅有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积．
初等函数在其定义区间内部都是可积的。 三、定积分的几何意义
（1）若在[a,b]上f(x)?0，则由引入中曲边梯形的面积问题知，定积分于以y?f(x)为曲边的[a,b]上的曲边梯形的面积A，即
?baf(x)dx等
?
baf(x)dx?A．
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（2）若在[a,b]上f(x)?0，因f(?i)?0，从而时
?i?1nf(?i)?xi?0，?f(x)dx?0．此
ab?baf(x)dx的绝对值与由直线x?a，x?b，y?0及曲线y?f(x) 所围成的曲边梯形的
面积A相等（见下左图），即
?baf(x)dx??A．
（3）若在[a,b]上f(x)有正有负，则减去x轴下方的图形面积．（如下右图）有
?baf(x)dx等于[a,b]上位于x轴上方的图形面积
?
baf(x)dx??x1af(x)dx??x2x1f(x)dx??bx2f(x)dx??A1?A2?A3．
四、定积分的性质
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号外面．即
?证
ba． kf(x)dx?k?f(x)dx （k为常数）
anb?bakf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?x?k?f(x)dx．
??0i?1nb??0i?1a性质2 函数的和（差）的定积分等于他们定积分的和（差），即
b?ba[f(x)?g(x)]dx?n?ibaf(x)dx??g(x)dx．
aiib证
?[f(?)?g(?)]?x ?[f(x)?g(x)]dx?lim?a?0i?1?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi??f(x)dx??g(x)dx
??0i?1nnbb??0i?1aa此性质对有限多个函数的代数和也成立．
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性质3 对于任意三个数a,b,c，恒有
?baf(x)dx??caf(x)dx??f(x)dx．
cb证 当a?c?b时，因为函数f(x)在[a,b]上可积，所以无论对[a,b]怎样划分，和式的极限总是不变的．因此在划分区间时，可以使c永远是一个分点，那么[a,b]上的积分和等于[a,c]上的积分和加上[c,b]上的积分和，即
[a,b]?f(?)?x??f(?)?x??f(?)?x．
iiiiii[a,c][c,b]令??0，上式两端取极限得
?同理，当c?a?b时
baf(x)dx??caf(x)dx??f(x)dx；
cb?所以
bcf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，
caacbcacab?baf(x)dx??bcf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx．
其它情形仿此可证．
性质4 如果在[a,b]上f(x)?0，则
?baf(x)dx?0．
证 因为f(x)?0，所以f(?i)?0(i?1,2,?,n)，又?xi?0，所以
?f(?)?xii?1ni?0，于是
ban?f(x)dx?lim?f(?i)?xi?0．
??0i?1 同理可证，如果在[a,b]上f(x)?0，则
?baf(x)dx?0． f(x)dx?性质5 如果在[a,b]上f(x)?g(x)，则
?ba?bag(x)dx．
证 因为在[a,b]上f(x)?g(x)，则f(x)?g(x)?0，即 于是
?[f(x)?g(x)]dx?0，
ab?baf(x)dx??bag(x)dx．
性质6 如果在[a,b]上，f(x)?1，则
?baf(x)dx??1dx?b?a．
ab - 5 -
高中数学 1.5 3定积分教案 选修2-2
