【考向解读】
高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查． 【命题热点突破一】导数的几何意义
例1、(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________；
【变式探究】【2016高考新课标2理数】若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线y?ln(x?1)的切线，则b? ．
【感悟提升】与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：
①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率； ②由点斜式求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)已知斜率求切点：已知斜率R，求切点(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.
【变式探究】 函数f(x)＝exsin x的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) 3ππA. B. 43ππC. D.46
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【命题热点突破二】函数的单调性 与最值
例2、(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；
3
(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.
4a
【变式探究】(2017·课标全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)exA．－1 B．－2e3 C．5e3 D．1
－
－
－1
的极值点，则f(x)的极小值为( )
【变式探究】【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知f(x)?a?x?lnx??2x?1,a?R. 2x3对于任意的x??1,2?成立. 2（I）讨论f(x)的单调性；
（II）当a?1时，证明f(x)＞f'?x??【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同． 【变式探究】
(1)已知函数f(x)＝ln(x＋a)＋ax，求函数f(x)的单调区间和极值．
(2)已知函数f(x)＝(ax－2)ex在x＝1处取得极值，求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值．
【感悟提升】利用导数求函数极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点两侧导数的符号，先确定其是否为极值点，若是极值点，则再确定是极大值点还是极小值点． 【命题热点突破三】函数的单调性与不等式
例3、(2017·山东卷)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)，其中e≈2.718 28…是自然对数的底数．
(1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程；
(2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【变式探究】已知f(x)＝xex＋ax2－x，a∈R. 1
(1)当a＝－时，求函数f(x)的单调区间；
2
(2)若当x≥0时，恒有f′(x)－f(x)≥(4a＋1)x成立，求实数a的取值范围．
【感悟提升】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题．但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数． 【变式探究】
?xe－x2＋mx，x∈（0，1），?
已知函数f(x)＝?其中e＝2.718 28…是自然对数的底数，m∈R.
?ln x－x＋2，x∈[1，＋∞），?
(1)若函数f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m的取值范围； f（b）－f（a）1
(2)对任意的1 【感悟提升】用导数证明不等式问题，实质上是研究函数在一个区间上的恒成立问题，因此，证明的基本 思路就是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，再根据函数的性质推断不等式成立．解题时注意技巧的总结：①树立服务意识，所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式；②强化变形技巧，所谓“变形技巧”是指对于给定的不等式无法直接证明，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明，例如采用两边取对数(指数)、移项、通分等方法． 【命题热点突破四】定积分 例4、(1) 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________． (2) 如图7-1所示，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________． 【感悟提升】定积分的应用主要是求曲边形的面积，其方法是根据定积分的几何意义把曲边形的面积表示为函数的定积分． 【变式探究】一列火车在平直的铁轨上行驶，遇到紧急情况时，火车紧急刹车，此时火车以速度v（t）＝555－t＋（t的单位：s，v的单位：m/s）减速至停止，在此期间火车继续行驶的距离是（ ） 1＋tA.55ln 10 m B.55ln 11 m C.（12＋55ln 7）m D.（12＋55ln 6）m 【高考真题解读】 1、(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________； 2、(2017·山东卷)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，g(x)＝ex(cos x－sin x＋2x－2)，其中e≈2.718 28…是自然对数的底数． (1)求曲线y＝f(x)在点(π，f(π))处的切线方程； (2)令h(x)＝g(x)－af(x)(a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 3、(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性；
专题07 导数及其应用(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(原卷版)
