三、三角函数（高考真题+模拟新题）
课标理数10.C1[2011·江西卷] 如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( )
图1
图2
课标理数10.C1[2011·江西卷] A 【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.
设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧AM与小圆圆弧AM′相等． 以切点A在劣弧MB上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1
＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
1
大圆圆弧AM的长为l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧AM1的长为l2＝2θ×＝θ，即l1＝l2，
2∴小圆的两段圆弧AM′与AM1的长相等，故点M1与点M′重合，
即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动． 点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项A符合．故选A.
课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ
25
终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.
5
课标文数14.C1[2011·江西卷] －8 【解析】 r＝x2＋y2＝16＋y2，
25yy25
∵sinθ＝－，∴sinθ＝＝＝－，解得y＝－8.
5r516＋y2
课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
4334A．－ B．－ C. D.
5555课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，22222则r＝|OP|＝a＋(2a)＝5a，
a21232
∴cosθ＝2＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－. 5a555
cos2θ－sin2θ1－tan2θ2a3
解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝22＝2＝－. a5cosθ＋sinθ1＋tanθ
课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
43A．－ B．－ 55
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34C. D. 55
课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，22222则r＝|OP|＝a＋(2a)＝5a，
a21232
∴cosθ＝2＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－. 5a555
22
cosθ－sinθ1－tan2θ2a3
解法2：tanθ＝＝2，cos2θ＝22＝2＝－. a5cosθ＋sinθ1＋tanθ
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3π
π，?，tanα＝2，则cosα＝________. 大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈?2??
5
【解析】 ∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1得5
3π15π，?，∴cosα＝－. cos2α＝，又α∈?2??55
π1
0，?，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于( ) 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈??2?4
23
A. B. C.2 D.3 23
课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2α＋cos2α＝sin2α＋1－2sin2α＝1－sin2α＝cos2α，
13
∴cos2α＝，sin2α＝1－cos2α＝，
44π0，?， ∵α∈??2?13sinα
∴cosα＝，sinα＝，tanα＝＝3，故选D.
22cosα
3π3
π，?，则tanα＝________. 大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 若cosα＝－，且α∈?2??5
3π43
π，?， 大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 【解析】 ∵cosα＝－，且α∈?2??35
4
∴sinα＝－1－cos2α＝－，
5
sinα4
∴tanα＝＝.
cosα3
大纲文数14.C2[2011·全国卷] －
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π
x＋?－1. 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxsin??6?(1)求f(x)的最小正周期；[来源:Z,xx,k.Com]
ππ
－，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间??64?π
x＋?－1 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f(x)＝4cosxsin??6?31?sinx＋cosx－1
2?2?
＝3sin2x＋2cos2x－1 ＝3sin2x＋cos2x
π2x＋?， ＝2sin?6??
所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
64663
πππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
626πππ
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
666
＝4cosx?π
x＋?－1. 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f(x)＝4cosxsin??6?(1)求f(x)的最小正周期；[来源:学科网ZXXK]
ππ
－，?上的最大值和最小值． (2)求f(x)在区间??64?π
x＋?－1 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f(x)＝4cosxsin??6?31?sinx＋cosx－1
2?2?
＝3sin2x＋2cos2x－1 ＝3sin2x＋cos2x
π2x＋?. ＝2sin?6??
所以f(x)的最小正周期为π.
ππππ2π
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
64663
ππππππ
于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.
626666
sin2α
课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tanα＝3，则2的值等于( )
cosα
A．2 B．3 C．4 D．6
sin2α2sinαcosα2sinα
课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为2＝＝＝2tanα＝6，故选D.
cosαcos2αcosα
π
ω＞0，|φ|＜?的最小正课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)?2??
周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
π
0，?单调递减 A．f(x)在??2?π3π?B．f(x)在??4，4?单调递减
π
0，?单调递增 C．f(x)在??2?＝4cosx?第 4 页 共 36 页
π3π?D．f(x)在??4，4?单调递增
π
ωx＋φ＋?，因为f(x)课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f(x)＝2sin?4??
2π
的最小正周期T＝＝π，
ω
所以ω＝2.
π
2x＋φ＋?， 所以f(x)＝2sin?4??
又因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
π
2x＋φ＋?＝±2cos2x， 所以f(x)＝2sin?4??
ππ
所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，
42π
所以φ＝＋kπ，k∈Z，
4ππ
又因为|φ|<，所以φ＝. 24
π
2x＋?＝2cos2x， 所以f(x)＝2sin?2??
π
0，?上单调递减． 所以f(x)＝2cos2x在区间??2?
π
ω＞0，|φ|＜?，y＝f(x)的部分图象如图1－课标文数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)?2??
π?
7，则f??24?＝( )
图1－7
A．2＋3 B.3
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2012新题分类汇编：三角函数（高考真题+模拟新题）
