(1) Dn
是 0
解
a 1
1 , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都 a Dn
a 0 0
0 a 0 0 0 a 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 (按第 n 行展开)
a 0 0 a
0 0 0 a 0 0 ( 1)n 1 0 a 0
0 0 0
a
( 1)n 1 1)n (
0 1 0 0 0 0 0 (n 1) (n
1)
a
( 1)2n a
a
a (n 1) (n 1)
a (n 2)(n
2)
an an an 2 an 2(a2 1)
(2) Dn
x a a x a a
a
a ; x 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得
Dn
x a a a x x a 0 a x 0 x a
a 0 0
a x 0
0 0 x a
再将各列都加到第一列上 得
x (n 1)a a a
0 x a 0 0 0 x a
Dn
a
0 0 0 x a
[x (n 1)a](x a)n 1
0 0 0
(3) Dn 1
a 1
an an 1
(a 1)n
(a 1)n
1
(a n)n (a n)n 1
; a n 1
a 1 1
解 根据第 6 题结果 有
Dn 1 ( 1)
n(n 1) 2 1 a
an 1
an (a 1)n
1
1 a 1
1 a n
(a n)n 1 (a n)n
(a 1)n
此行列式为范德蒙德行列式
Dn 1 ( 1)
n(n 1) 2
[(a i 1) (a j 1)]
( 1)
n(n 1) 2
n 1 j 1 i
( 1)
n 1 j 1
i n(n 1) n (n 1
1)
2 2
[ (i j)]
( 1) (i j)
n 1 i j 1
(i j)
n 1 i j 1
an
(4) D2n
cn
解
D
2n
cn
a1 b1 c1 d1
an
a1 b1 c1 d1
bn
;
dn
bn
(按第 1 行展开) dn
a
b
n 1 n 1
0
a a1 b1 n c1 d 1
c
n
0
1
dn 1
0 an
0 0 dn bn 1
1
( 1)2n 1ba1 b1
n c1 d1
d n 1
ccn 1
n
0
再按最后一行展开得递推公式
D2n andnD2n 2 bncnD2n 2
即 D2n (andn
于是
Dn
2n
(aidi bici )D2
i 2
而
D
2
a1 ba1d1 b1c1
1 cd1 1
所以
Dn
2n
(aidi bici )
i 1
(5) D det(aij) 其中 aij |i j|;
解 a j|
ij |i 1 0 10 2 1 3 2 n n 1 Dn det(aij ) 3
2 2 1 0 1 1
0
n 2 n 3 4
n 1 n 2
n 3 n 4
0 r1 11 1 1 1 1 r2
1 n
r2 r3
1
n 1
bncn)D2n 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
2 n 3 n 4
工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案
