工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案
第一章 行列式
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式
(1) 2 1 0 1
1 4 8 31
解
2 1 1 0 4 8 1 31
2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) 24 8 16 4
4
a b c a (2) c b a bc 解 b a b c c c a ba
acb bac cba bbb aaa ccc
3abc a3 b3 c3
(3) 1 a 1 a 2 b 1 2 c c2
b解
1 a a 2 b 1 2 1 c c2
bbc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)
(4) x y x y y x x y x xy y
解
x x y y y x y x x y xy
8 ( 1)
1
x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3
2(x3 y3)
2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数
(1)1 2 3 4 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2
解 逆序数为 4 41 43 42 32
(3)3 4 2 1
解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3
解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3
(5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)
解 逆序数为 n(n 1)
2
3 2 (1 个)
5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)
(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) (6)1 3
(2n 1) (2n) (2n 2) 2
解 逆序数为 n(n 1)
3 2(1 个)
5 2 5 4 (2 个)
(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6
4 2(1 个)
(2n
1)(2n 2) (n 1 个)
6 2 6 4(2 个)
(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)
3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项 解 含因子 a11a23 的项的一般形式为
( 1)ta11a23a3ra4s
其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 两个
这种排列共有
即 24 和 42
tt
1
所以含因子 a11a23 的项分别是
( 1)a11a23a32a4( 1)a11a23a32a4
4 2
4 2
a11a23a32a44
( 1)a11a23a34a4( 1)2a11a23a34a4a11a23a34a42
4 计算下列各行列式
4 1 2 4 2 0 2 (1) 11 0 5 2 0 0 1 1 7 4 1 2 4 c c 4 1 2 10 4 2 3 1 2 0 2 1 2 0 2 1 解 10 5 2 0 c7c10 3 214 10 0 1 7 4 3 0 0 0 1 1
4 1 10 c2 c3 9 9 10 0 0 2 0 1 2 2 1 2 c10 3 14 c1 3 17 17 14
1 10 2 2 ( 1)4 3 3 14
2 3 (2) 1 5 1 4 1 1 2 1 2 3 2 0 6 2
2 1 4 1 c4 c2 2 1 4 0 r4 r2 2 1 4 0 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1解 1 1 2 3 0 1 2 3 0 2 3 2
2 1 4 0 5 0 6 2 5 0 6 2
r4 r1 2 1 4 0 3 1 2 2 0 1 2 3 0 0 0 0 0
(3) bf bd ab ac ae cf cd de ef 解
bdab ac ae b bf cf cd
de ef adf b b c c e c ee
1 adfbce 111
1
1 1 11 4abcdef
a 1 (4) 01 b 0 1 00 0 0 1 c 1 d1 ab1 0 1 0 a 解
1 r ar2 0 1 ab
01 1 0 01 c 1 01 d 0 1 b 0 0 1 c 00 1 d1 ( 1)( 1)2 1 1 ab a 0 c3 dc2 1 ab ad 0 1 c 1 1 d 01 a
c 1 1 0 cd
( 1)( 1)3 21 ab 1 ad abcd ab cd ad 1
5 证明:
cd
1 (1) 2a2 1a a ab 1 b b2
21b (a b)3;
证明
a2
ab b2 c2 c1 a2 a2 b2 a2
21 a a 1 b 21 b ab
c2a b a 2b 3 c1 1 0 0 2a ( 1)3 1 ab 2
b a a 2b2 b a2 2a (b a)(b a) a 1 b 2 a (a
(2) ax ay by az bz ay bx axaz bz bx by bx by ax az ay ( abx y z
3 3) y z z x x ; 证明
bz y
b3)
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