2024年中考三轮冲刺复习同步练习：《相似》
1．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，点E在线段AB上，连接CE交AD于F点． （1）若CE平分∠ACB． ①求证：AE＝AF．
②如图2，过E作EG⊥EC交BC于G，cos∠ACE＝，求
的值．
（2）如图3，AB＝mAC，AE＝nBE，过E作EG⊥EC交BC于G．当EF＝EG时，直接写出m、
n满足的数量关系为 ．
2．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＜BC，AB＝BC＝1，E是边AB上一点，联结CE．
（1）如果CE＝CD，求证：AD＝AE；
（2）联结DE，如果存在点E，使得△ADE、△BCE和△CDE两两相似，求AD的长； （3）设点E关于直线CD的对称点为M，点D关于直线CE的对称点为N，如果AD＝，且M在直线AD上时，求
的值．
3．如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点． （1）求证：△ABE∽△DEG． （2）若AB＝3，BC＝5
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．
4．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°． （1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；
（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．
5．已知Rt△ABC和Rt△DEB中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE，DE＝kAC．（其中0＜k＜1），连接AD、CE，点M为线段AD的中点，连接ME、MC，△BDE绕点B顺时针旋转，探究线段ME与MC的数量关系．
（1）如图1，点E落在BC边上时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点E落在△ABC内部时，探究ME与MC的数量关系，并说明理由； （3）若∠ABC＝30°，k＝
，当A、E、D共线时，直接写线
的值．
6．如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC＝∠EBD＝90°，AB＝6，BC＝3，EB＝2
，BD＝
，
射线AE与直线CD交于点P．
（1）求证：△ABE∽△CBD； （2）若AB∥ED，求tan∠PAC的值；
（3）若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．
7．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD． （1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：△APC∽△DQC；
（2）如图2，当∠BAD＝120°时，过点C作CK⊥BC交BD于点K， ①求证：∠ACP＝∠KCQ；
②探究：三条线段DQ，BP，CD的数量关系？
（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE的平分线交AD边于点F，若
，EF＝
，求线段CD的长．
8．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA，过点P作DE∥AB交AC于点D，交BC于点E． ①求证：点P是线段DE的中点； ②求证：BP2＝BE?BA．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，BP平分∠ABC，过点P作DE∥AB交AC于点D，交BC于点E，若点P为线段DE的中点，求AD的长度．
2024年九年级中考三轮冲刺复习《相似》 练习
