华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学AⅠ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 总分 得分 评阅人 得分 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．limsin5xx?02x? 。
2．曲线y?ex?e?x2在点(0,1)处的曲率是 2014年不做要求 。3．设f?x?可导，y?ln?f(x)?，则dy= 。 4．不定积分?xx2?3dx= 。 5．反常积分???0e?6xdx= 。
得分 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．设f(x)???x2,0?x?1,在点x?1处必定 （ ?x,1?x?2A．连续但不可导 B．连续且可导
C．不连续但可导 D．不连续，故不可导 2．曲线y?x在点x?4处的切线方程是 （ ）
A．y?14x?1 B．y?12x?1 C．y?114x?1 D．y?4x?2
3．下列函数在区间[?1,1]上满足罗尔定理条件的是 （ ） A．
1x2 B．x3 C．x D．11?x
2
4．设f?x?为连续函数，则下列等式中正确的是 （ ）
）
A．?f?(x)dx?f(x) B．
df(x)dx?f(x)?C ?dx C．d?f(x)dx?f(x) D．d?f(x)dx?f(x)dx
5．已知?x?2?3x?dx?2，则a? （ ）
0aA．?1 B．0 C．
1.5CM 1 D．1 2得分 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
ex?x?11. 求极限 lim。
x?0xex?1???1?sin2x ,x?0 2. 设函数f(x)??,在点 x?0处可导，求a,b的值。
a?bx ,x?0 ??dy?x?t?1?sint?3. 设参数方程?确定y是x的函数，求。
dx??y?tcost4．设方程y2?2xy?9?0确定隐函数y?y(x)，求
x35．求函数y?2的单调区间，极值和拐点。
x?1dy。 dx6．计算定积分?xlnxdx。
1e7．求不定积分?1.5CM x31?x2dx。
得分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
x31．证明不等式：当x?0时，sinx?x?。
62．设a?0,f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，又f(a)?0，试证：存在
??(a,b)，使得f(?)?b??f'(?)。 a3．如图，在区间?0,1?上给出函数y?x2，问a为何值时，图中阴影部分的面积
A1与A2之和最小？
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2011~2012学年第1 学期 考试科目：高等数学AⅠ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
312f'(x)51dx 4．(x?3)2?C 5． 1． 2．1 3．
3f(x)26二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．A 2．C 3．D 4．D 5．A
1.5CM
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
ex?x?11. 求极限 lim。
x?0xex?1??ex?x?1ex?1解：lim．．．．．．．．．．．２分 ?limxx?0xex?1x?0e?1?xex??ex=limx．．．．．．．．．．．．．．．４分 x?02e?xex1．．．．．．．．．．．．５分
x?02?x1=．．．．．．．．．．．．．．．．７分 2=lim?1?sin2x ,x?0 2. 设函数f(x)??,在点 x?0处可导，求a,b的值。
?a?bx ,x?0 解：因为函数在点 x?0处可导，所以在点 x?0处连续，
即limf(x)?limf(x)?f(0)．．．．．．．．．．．．．．．１分 ??x?0x?0即
x?0?lim(1?sin2x)?lim(a?bx)?1．．．．．．．．．．．．．２分
x?0?所以
a?1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．３分
又函数在点 x?0处可导，所以
f(?x)?f(0)f(?x)?f(0)．．．．．．．．．．．．５分 ?lim?x?0??x?0??x?x1?sin2?x?1a?b?x?1?lim?即lim?．．．．．．．．．．６分
?x?0?x?0?x?xlim所以
b?2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．７分
?dy?x?t?1?sint?3. 设参数方程?确定y是x的函数，求。
dx??y?tcost解：
dy?cost?tsint．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 dtdx?1?sint?tcost．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 dtdydycost?tsint?dt?所以．．．．．．．．．．．７分 dxdx1?sint?tcostdtdy。 dx解：方程两边对x求导，．．．．．．．．．．．．．．１分 4．设方程y2?2xy?9?0确定隐函数y?y(x)，求
得2yy'?2y?2xy'?0．．．．．．．．．．．．．．．．５分 所以
dyy?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 dxy?xx35．求函数y?2的单调区间，极值和拐点。
x?1x2(x2?3)解：y'?．．．．．．．．．．．1分 22(x?1)2x(x3?3)y''?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
(x2?1)3分
令y'?0，得驻点x?0,?3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
令y''?0，得驻点x?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
讨论得单调递增区间为(??,?3),(3,??)，单调递减区间为
(?3,?1),(?1,1),(1,3)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5
分
当x??3时取得极大值?33，当x?3时取得极小值233．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 2拐点为(0,0)。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
6．计算定积分?xlnxdx。
1e1e2．．．．．．．．．．２分 lnxdx?1?12121e2e＝(xlnx)1??xdlnx．．．．．．．．．．．．４分
22111e＝e2??xdx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 221解：
exlnxdx?e2?1＝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分
1.5CM
437．求不定积分?x1?x2dx。
解：设x?sint．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分
3则?x1?x2dx??sin3tdt．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
＝?(cos2t?1)d(cost)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分
＝13cos3t?cost?C．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 ＝13(1?x2)3?1?x2?C．．．．．．．．．．．．．．．７分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
1．证明不等式：当x?0时，sinx?x?x36。
x?x?x3解：设f(x)?sin6
cosx?1?x2则f'(x)?2．．．．．．．．．．．．．．．．１分
所以f''(x)?x?sinx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分 当x?0时，f''(x)?x?sinx?0，即f'(x)单调递增．．．．．．．．．．．．４分
所以当x?0时，f'(x)?f'(0)
即f'(x)?cosx?1?x22?0，故f(x)?sinx?x?x36单调递增．．．．．．．．６分
所以当x?0时，f(x)?f(0)
x3即sinx?x?．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７
6分
2．设a?0,f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导，又f(a)?0，试证：存在
??(a,b)，使得f(?)?ab??f'(?)。 a分
证明：令F(x)?(b?x)f(x)．．．．．．．．．．．．．．．．2
则f(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内可导．．．．．．．．．．．．．．．．3分
且F(a)?F(b)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 由罗尔定理知，存在??(a,b)，使得
F'(?)??a(b??)a?1f(?)?(b??)af'(?)?0．．．．．．．．．．．．6分
即
b??f'(?)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．a．．．．．．．．．．．．．．．．．７分 f(?)?3．如图，在区间?0,1?上给出函数y?x2，问a为何值时，图中阴影部分的面积
A1与A2之和最小？
23a．．．．．．．．．．１分
03112A1??(x2?a2)dx??a2?a3．．．．．．．．．２分
a3314所以A?A1?A2??a2?a3．．．．．．．．．．．３分
33解：A1??(a2?x2)dx?aA'??2a?4a2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４
分
令A'??2a?4a2?0，得a?0或a?1．．．．．．．５分 21A''??2?8a，A''()?2?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分
21所以当a?时阴影部分的面积A1与A2之和最小．．．．．７分
2
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