高考复习专题：简单的线性规划
专题要点
简单的线性规划：能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区域，能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力。
线性规划等内容已成为高考的热点，在复习时要给于重视,另外，不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋于淡化,在复习时也应是注意。
考查主要有三种：一是求给定可行域的最优解；二是求给定可行域的面积；三是给出可行域的最优解，求目标函数（或者可行域）中参数的范围。多以选择填空题形式出现，不排除以解答题形式出现。 考纲要求
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；了解线性规划的意义并会简单应用。 典例精析
线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数形结合等方法解决问题。 考点1：求给定可行域的最优解 例1.（2012
A．3 B．1 C．?5 D．?6 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点A时,取到最小
?x??1?x??1联立?,解得?,所以z?x?2y的最小值为
y?x?1y??2???x?y?1广东文）已知变量x、y满足约束条件??x?y?1,则z?x?2y的最小值为
?x?1?0?（ ）
值.
?5.
?x?y?3?例2.（2009天津）设变量x，y满足约束条件：?x?y??1.
?2x?y?3?则
目标函数z=2x+3y的最小值为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
?x?y?3解析：画出不等式??x?y??1表示的可行域，如右图，
?2x?y?3?让目标函数表示直线y??2xz?在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小33?x?y?3值，解方程组?得(2,1)，所以zmin?4?3?7，故选择B.
2x?y?3?yy发散思维：若将目标函数改为求z?的取值范围；或者改为求z?的取值范围；
xx?3或者改为求z?x2?y2的最大值；或者或者改为求z??x?1?2?y2的最大值。 方法思路：解决线性规则问题首先要作出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找出目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决。
?2x?y?2?0?练习1.（2012天津）设变量x,y满足约束条件?x?2y?4?0,则目标函数z?3x?2y的
?x?1?0?最小值为
A．?5
（ ）
B．?4
C．?2
D．3
32z2【解析】做出不等式对应的可行域如图,由z?3x?2y得y?x?,由图象可知当直线
3z3zx?经过点C(0,2)时,直线y?x?的截距最大,而此时z?3x?2y最小为2222z?3x?2y??4,选B. y?0≤x≤1，??
练习2．在约束条件?0≤y≤2，下，?x－1?2＋y2的最小值为________．
??2y－x≥1，
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，注意到
?x－1?2＋y2可视为该区域内的点(x，y)
|－1－1|25
与点(1,0)之间距离，结合图形可知，该距离的最小值等于点(1,0)到直线2y－x＝1的距离，即为＝. 答
55
25案
5
练习3、（2011广东文、理数）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为
，则z=?的
最大值为（ ）
A、3 B、4 C、3 D、4 解答：解：首先做出可行域，如图所示： z=?=，即y=﹣x+z 做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点A时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．
因为A（，2），所以z的最大值为4故选B
x＋y≥2，??
练习4.（2011福建）已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域?x≤1，
??y≤2→→
则OA·OM的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[0,2] D．[－1,2] x＋y≥2，??→→
【分析】 由于OA·OM＝－x＋y，实际上就是在线性约束条件?x≤1，
??y≤2最大值和最小值．
上的一个动点，
下，求线性目标函数z＝－x＋y的
→→
【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA·OM＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线．
当它经过点C(1,1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0,2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.
→→
∴z的取值范围是[0,2]，即OA·OM的取值范围是[0,2]，故选C.
考点2：求给定可行域的面积
?x?0?例3．在平面直角坐标系中，不等式组?x?3y?4表示的平面区域的面积为（ ）
?3x?y?4?A． B． C． D．
答案c
考点3：给出最优解求目标函数（或者可行域）中参数
?x?y?2≥0,?例4．(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中，若不等式组?x?y?2≥0,表示的
?x≤t?32234334平面区域的面积为4，则实数t的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 答案B
?x?y?1?0?练习5.（2009福建卷文）在平面直角坐标系中，若不等式组?x?1?0（?为常数）
?ax?y?1?0?所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为
A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足x?1?0与x?y?1?0的可行域，而ax?y?1?0的直线恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D.
32?x?2y?19?0，xx?y?8?0,练习6. 设二元一次不等式组?所表示的平面区域为M，使函数y＝a(a??2x?y?14?0?＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是c
（A）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]
x＋2y≥0??
练习7．设z＝x＋y，其中x、y满足?x－y≤0
??0≤y≤k
A．－3
C．2
，若z的最大值为6，则z的最小值为
B．3 D．－2
解析 如图所示，作出不等式组所确定的可行域△OAB，目标函数的几何意义是直线x＋y－z＝0在y轴上的截距，由图可知，当目标函数经过点A时，
??x－y＝0，取得最大值，由?解得A(k，k)，故最大值为z＝k＋k＝2k，由题意，
??y＝k，??x＋2y＝0，
得2k＝6，故k＝3.当目标函数经过点B时，取得最小值，由?解
??y＝3，
得B(－6,3)，故最小值为z＝－6＋3＝－3.故选A.
答案 A
练习8（.2012课标文）已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,
若点(x,y)在△ABC内部,则z??x?y的取值范围是 （ ） A．(1-3,2) B．(0,2) C．(3-1,2) D．(0,1+3) 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题.
【解析】有题设知C(1+3,2),作出直线
l0:?x?y?0,平移直线l0,有图像知,直线l:z??x?y过B点时,zmax=2,过C时,zmin=1?3,∴z??x?y取值范围为
(1-3,2),故选A.
练习9.（2012福建文）若直线y?2x上存在点(x,y)满足
?x?y?3?0?件??x?2y?3?0,则实数m的最大值为（ ） ???x?m3A．-1 B．1 C． D．2
2约束条
【答案】B
【解析】x?y?3?0与y?2x的交点为(1,2),所以只有m?1才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.
?x?y?3?0?x练习10.（2012福建理）若函数y?2图像上存在点(x,y)满足约束条件??x?2y?3?0,
???x?m则实数m的最大值为（ ）
13A． B．1 C． D．2
22【答案】B
【解析】x?y?3?0与y?2x的交点为(1,2),所以只有m?1才能符合条件,B正确. 【考点定位】本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、逻辑推理能力和求解计算能力 考点四：实际应用与大题
例5（2009四川卷理）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元 解析：设甲、乙种两种产品各需生产x、y吨，可使利润z最大，故本题即
?3x?y?13?2x?3y?18?
已知约束条件?，求目标函数z?5x?3y的
x?0???y?0
?x?3
大值，可求出最优解为?，故zmax?15?12?27，
?y?4
最
故
选择D。
练习11. （2012四川理）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需
耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 （ ） A．1800元 B．2400元 C．2800元 D．3100元 [答案]C
[解析]设公司每天生产甲种产品X桶,乙种产品Y桶,公司共可获得 利润为Z元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y
?X?2Y?12?2X?Y?12?且?
X?0???Y?0画可行域如图所示,目标函数Z=300X+400Y可变形为
专题：简单的线性规划(含答案)
