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上式即为定积分的分部积分公式。
例题：计算 解答：设
，且当x=0时，t=0；当x=1时，t=1.由前面的换元公式得：
再用分部积分公式计算上式的右端的积分。设u=t,dv=edt,则du=dt,v=e.于是：
t
t
故：
广义积分
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。 一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限
则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，
存在，
记作：，
即： 此时也就是说广义积分
=. 发散，此
收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分
时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a 则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分， . 存在， 精品文档 记作：， 即： 此时也就是说广义积分 如果广义积分 (-∞,+∞)上的广义积分， 和 =. 发散。 收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分 都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 记作： 即： 上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。 ， = 例题：计算广义积分 解答： 二：积分区间有无穷间断点的广义积分 设函数f(x)在(a,b]上连续，而.取ε>0，如果极限 数f(x)在(a,b]上的广义积分， 存在，则极限叫做函 仍然记作：. 即： 这时也说广义积分 =， 发散。 收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分 . 精品文档 类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而.取ε>0，如果极限 则定义 否则就说广义积分 发散。 = 存在， ； 又，设f(x)在[a,b]上除点c(a 都收敛， 则定义： 否则就说广义积分 发散。 .如果两个广义积分和 =+. 例题：计算广义积分(a>0) 解答：因为得： ，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可 六、空间解析几何 空间直角坐标系 空间点的直角坐标系 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条. 精品文档 轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示） 坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 . 精品文档 空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点 ，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为 有向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个的方向角.其中 坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π. 关于方向角的问题 若有向线段的方向确定了，则其方向角也是唯一确定的。 方向角的余弦. 称为有向线段或相应的有向线段的方向余弦。
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