11．若直线l：y=﹣+m与曲线C：y=有且仅有三个交点，则m的取值范围是（A．
B．（1，
） C．（1，
+1） D．（2， +1）
【考点】函数的图象．
【分析】由题意作出函数的图象，由图象求出m的临界值，从而求m的取值范围． 【解答】解：由题意作图象如下， y=
的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，
故直线l：y=﹣+m与曲线C：y=
有且仅有三个交点的临界直线有，
当y=﹣+m过点（2，0）时，即0=﹣1+m，故m=1； 当直线y=﹣+m与椭圆的上部分相切， 即y′==﹣， 即x=
，y=
时，此时，m=
．
故选B．
）
12．已知函数f（x）=x2﹣4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（ ） A．
B．
C．π D．
【考点】定积分．
【分析】先分析M，N所表示的平面区域，并在平面直角坐标系中用图形表示出来，最后结合平面几何的知识解决问
【解答】解：因为f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，f（y）=（y﹣2）2﹣1，
则f（x）+f（y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）=（x﹣2）2﹣（y﹣2）2． ∴M={（x，y）=（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}， N={（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}．
故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形， 其面积为圆面积的一半，即为π． 故选：C．
二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分） 13．所给命题：
①菱形的两条对角线互相平分的逆命题； ②{x|x2+1=0，x∈R}=?或{0}=?；
③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；
④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件． 其中为真命题的序号为 ③④ ． 【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形“，对角线互相平分的四边形不一定是菱形；
②，{0}中有一个元素0，?中一个元素都没有； ③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假；
④，满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°．
【解答】解：对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错
对于②，{0}中有一个元素0，?中一个元素都没有，故错； 对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确；
对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60° 的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确． 故答案为：③④
14．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（是 ﹣540 ．（用数字作答）
﹣
）6的展开式中的常数项
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，分析该程序的作用，可得b的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，
分析可得常数项．
【解答】解：第一次循环：b=3，a=2； 第二次循环得：b=5，a=3； 第三次循环得：b=7，a=4；
第四次循环得：b=9，a=5；不满足判断框中的条件输出b=9． ∵（
﹣
）6=
=
令3﹣r=0得r=3 ∴常数项为故答案为：﹣540．
15．如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆
=1（a＞b＞0）的四个顶点，
=﹣540．
的展开式的通项为：
F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为 e=2
﹣5 ．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为
，直线B1F的方程为
，联立两直线
的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根
据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率． 【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为两直线联立则点T（
），则M（
，直线B1F的方程为
），由于此点在椭圆上，故有
，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0
即e2+10e﹣3=0，解得故答案为
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．
延长TO交圆O于N，易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，设T（x′，y′），则
由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，
（负值舍去），
，
，y′=x′+1，
，
易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：
令y′=0
，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=故答案：
16．某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是
．（用最简分数表示）
．
．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】由题意可得，第n+1周也使用A种密码的概率 Pn+1=Pn?，且P2=0，P3=，以此类推可得第七周使用A的概率P7 的值．
【解答】解：第一周使用A，第二周使用A的概率P2=0，第三周使用A的概率P3=，依此类推，
第四周使用A的概率 P4=（1﹣）?=，
湖北省武汉市2024-2024学年高二下学期3月月考数学（理科）试卷Word版含解析
