www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第11章曲线积分与曲面积分11.1复习笔记一、对弧长的曲线积分1．对弧长的曲线积分的概念与性质（1）概念【定义】设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界。在L上任意插入一点列M1,M2,...,Mn?1，把L分成n个小段。设第i个小段的长度为?si。又为（?i,?i）
f?i,?i）?s（i=1，第i个小段上任意取定的一点，作乘积（2，…，n），并作和if?,?）?s?（
i?1
i
i
n
i
如果当各小弧段的长度的最大值??0时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作?
L
（fx,y）ds，即?
L
（fx,y）ds=lim?f??i,?i??si，??0
i?1
n
其中f（x，y）叫做被积函数，L叫做积分弧段。（2）性质①被积函数可加性设α、β为常数，则②积分弧长可加性若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2，则?
L
???f?x,y?+?g?x,y???ds???Lf?x,y?ds???Lg?x,y?ds。?f?x,y?ds??f?x,y?ds??
L
L1
L2
f?x,y?ds。③保号性1/152www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台设在L上f（x，y）≤g（x，y），则?
L
（fx,y）ds≤?g（x,y）ds；特别地，有L
?
L
（fx,y）ds≤?（fx,y）ds。L
2．对弧长的曲线积分的计算法【定理】设f（x，y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为（t）,?x??（t）、?（t）在[α，β]上具有一阶连续导数，且（?≤t≤?），其中??
（t）?y??22
fx,y）ds存在，且??（t）+??（t）≠0，则曲线积分?L（
?
L
22（fx,y）ds??f[?（t）（,?t）]??（t）+??（t）dt（?＜?）。??对弧长曲线积分公式也可推广到空间曲线弧?由参数方程x??（t）,y??（t）,z?w（t）（?≤t≤?）给出的情形，这时有?
?
222（fx,y）ds??f[?（t）（,?t）（,?t）]??（t）???（t）＋?＇（t）dt（?＜?）。??二、对坐标的曲线积分1．对坐标的曲线积分的概念与性质（1）概念【定义】设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P（x，y）、Q（x，y）在L上有界。在L上沿L的方向任意插入一点列?M（i＝1,2，M（）,M（?,Mn（），把L分成n个有向小弧段M…，i?1i1x1,y12x2,y2）,?1xn?1,yn?1
n；M0＝A，Mn＝B）。设?xi?xi?xi?1、?yi?yi?yi?1，点为Mi?1Mi上任意取定的点。如果当各小（?i,?i）
2/152www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台弧段长度的最大值??0时，?P（?,?）?x
i?1
i
i
n
i
的极限总存在，则称此极限为函数P（x，y）在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作n
?
L
P（x,y）dx，类似地，如果lim?Q（?i,?i）?yi总存在，则称此极限为函数Q（x，y）在有向曲线弧L上对坐标y的??0i?1
曲线积分，记作?Q（x,y）dy。即L
?P??,???x?P?x,y?dx?lim?L
?0
i?1
i
i
n
i
，?Q??,???y?Q?x,y?dy?lim?L
?0
i?1
i
i
n
i
。其中P（x，y）、Q（x，y）叫做被积函数，L叫做积分弧段。以上两个积分也称为第二类曲线积分。（2）性质①被积函数的可加性设α、β为常数，则?
L
???F1?x,y?+?F2?x,y????dr???LF1?x,y??dr???LF2?x,y??dr。②积分弧长的可加性若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2，则?F?x,y??dr??F?x,y??dr??
L
L1
L2
F?x,y??dr。③方向性设L是有向光滑曲线弧，L?是L的反向曲线弧，则?F?x,y??dr???F?x,y??dr。L'
L
2．对坐标的曲线积分的计算法3/152www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台【定理】设P（x，y）、Q（x，y）在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为（t）?x??，当参数t单调地由α变到β时，点M（x，y）从L的起点A沿L运动到终点B，?
y??（t）?
22?（t）（t）、?在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且??（t）+??（t）≠0则曲线积分?P（x,y）dx?Q（x,y）dy存在，且LL
?
P（x,y）dx?Q（x,y）dy??
???P??(t),?(t)??'(t)?Q??(t),?(t)??'(t)?dt。（t）,y??（t）,z?w（t）上述公式也可推广到空间曲线?由参数方程x??给出的情形，这样便得到，?
?
P（x,y,z）dx?Q（x,y,z）dy?R（x,y,z）dz
??＝?
。?t）?t）+R??t）（t）,?（t）,（wt）?Q??（t）,?（t）,（wt）?（t）,?（t）,（wt）dt??（??（?w（?P???这里下限α对应?的起点，上限β对应?的终点。3．两类曲线积分之间的联系（1）平面上的关系设有向曲线弧L的起点为A，终点为B。曲线弧L由参数方程?曲线L上的两类曲线积分之间有如下联系：（t）?x??给出，则平面y??（t）?
?
L
Pdx?Qdy??（Pcos??Qcos?）ds，L
其中α（x，y）、β（x，y）为有向曲线弧L套点（x，y）处的切向量的方向角，表达式为cos??
?'(t)?'(t)??'(t)22,cos??
?'(t)?'(t)??'(t)22。4/152www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（2）空间上的关系空间曲线?上的两类曲线积分之间有如下联系，?
L
Pdx?Qdy?Rdz??（Pcos??Qcos??Rcos?）ds，L
其中α（x，y，z）、β（x，y，z）、γ（x，y，z）为有向曲线弧?在点（x，y，z）处的切向量的方向角。两类曲线积分之间的联系也可用向量的形式表达。例如，空间曲线?上的两类曲线积分之间的联系可写成如下形式：?
?
A?dr??A??ds或?A?dr??Axds，?
?
?
其中A=（P，Q，R），?＝（cos?,cos?,cos?）为有向曲线弧?在点（x，y，z）处的单位切向量，dr??ds?（dx,dy,dz），称为有向曲线元，Ar为向量A在向量?上的投影。三、格林公式及其应用1．格林公式【定理】设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。上述公式叫做格林公式。2．平面上曲线积分与路径无关的条件5/152
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