?（5）?X(ejw)dw
??2解：
（1）X(e)??x(n)?6
j0n??37?（2）?X(ejw)dw?x(0)?2??4?
??（5）?X(e)dw?2??x(n)?28?
jw??n??3?2726. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)??(n?1)??(n)??(n?1)； （3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解： （2）
X2(e)?jw1212n?????x2(n)e?jwn?1jw1e?1?e?jw221 ?1?(ejw?e?jw)?1?cosw2
（3） X3(e)?jwn?????au(n)en?jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae7. 设:
（1）x(n)是实偶函数，
（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
精选
（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?jwn????x(n)e??jwn
两边取共轭，得到
X(e)?*jwn????x(n)e?jwn?n????x(n)e??j(?w)n?X(e?jw)
因此X(ejw)?X*(e?jw)
上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。
X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
?由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么
n????x(n)sinwn?0
?因此X(e)?jwn????x(n)coswn
?该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。
（2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即
X(ejw)?X*(e?jw)
X(e)?jwn????x(n)e??jwn?n????x(n)[coswn?jsinwn]
??由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么?x(n)coswn?0
n???因此X(e)?j?x(n)sinwn
jwn????精选
这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。
10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:
HR(ejw)?1?cosw
求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???
??h(n)e?jwn?1?e?jw?2e?jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)?anu(n),0?a?1，输入序列为
x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y(n)；
（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1）
y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2ann?2u(n?2)
（2）
精选
X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e????jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aeau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)X(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对
xa(t)进行采样，得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面
各题：
（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)； （2）写出xa(t)和x(n)的表达式；
（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。 解： （1）
Xa(j?)??xa(t)e?j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt???????
??(e??j?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])
?a(t)?（2） xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??
?0?2?f0?200?rad,T?1?2.5ms fs（3）
精选
?1?(j?)??X(j??jk?)XaasTk??? ?2?Tk????[?(????
0?k?s)??(???0?k?s)]式中?s?2?fs?800?rad/s
X(e)? ?jwn?????x(n)e?[ejw0n??jwn?n????2cos(?nT)e0?k?????jwn?n????2cos(wn)e00??jwn
?e?jw0n]e?jwn?2?n????[?(w?w?2k?)??(w?w0?2k?)]式中w0??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2?nu(?n?1)； （3）2?nu(?n)； （6）2?n[u(n)?u(n?10)] 解：
（2） ZT[2u(n)]??nn?????2u(n)z?n?n??2?nz?n?n?0?11,z? ?1?11?2z2（3）
ZT[?2u(?n?1)]? ??nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?12
（6）
ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?09 ?精选
1?2z,0?z???1?11?2z?10?10
《数字信号处理》第三版答案(非常详细完整)试题 .doc
