高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。
f1(x0,y0)?0两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点?{2方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
f(x0,y0)?0(?(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为
D2?E2?4F2DE,?)22半
径是
DED2。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2)2+(y+2)2=
?E2-4F4
DE②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2,-2);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内，其中｜MC｜=
(x0-a)2?(y0-b)2。
直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
d?Aa?Bb?CA2?B2②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线：
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椭圆、双曲线、抛物线性质对比 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
离心率 【备注1】双曲线： e?c(0?e?1)a e?c(e?1)a e=1 222⑶等轴双曲线：双曲线x?y??a称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
x2y2?2??2ab⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与
x2y2x2y2?2?0????2aba2b2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
x2⑸共渐近线的双曲线系方程：ax22的双曲线方程可设为a2?y2b2??(??0)xyxy??0??0abab的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它
?y2b2??(??0).
【备注2】抛物线：
pp22yy22（1）抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是pppp2x22(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,2)，准线方程y=-2 ，开口向上； pp2抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2），准线方程y=2，开口向下.
2y（2）抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
MF?x0?p22；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
MF?与焦点F的距离
p?x02
pp2y（3）设抛物线的标准方程为=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2，顶点到准线的距离2，焦点到
准线的距离为p.
2y（4）已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
p2p2pxx?,AF?x?AB?2121ABx1?x242(AF叫sin2?(α为直线AB的倾斜角)，y1y2??p，则弦长=+p或
做焦半径).
五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中
x?x'?hx'?x?h''(x,y).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 y?y'?k或 y'?y?k 的坐标是
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叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k (x-h)2(y-k)2a2+b2=1 椭圆 a2x=±c+h a2y=±c+k a2x=±c+k a2y=±c+k (x-h)2(y-k)2b2+a2 =1 (x-h)2(y-k)2a2-b2=1 双曲线 (h,±c+k) (±c+h,k) (y-k)2(x-h)2a2-b2=1 (y-k)2=2p(x-h) (h,±c+h) p(2+h,k) p(-2+h,k) p(h, 2+k) p(h,- 2+k) px=-2+h px=2+h py=-2+k py=2+k y=k (y-k)2=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)2=2p(y-k) y=k x=h (x-h)2=-2p(y-k) x=h 六、椭圆的常用结论： 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x2y2x0xy0y??1?2?1222P0P0(x0,y0)abab若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
x2y2?2?12PP0(x0,y0)ab若在椭圆外，则过0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1a2b.
x2y2?2?12?F1PF2??ab椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形
的面积为
S?F1PF2?b2tan?2.
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x2y2?2?12|MF1|?a?ex0|MF2|?a?ex0F1(?c,0)F2(c,0)M(x0,y0)ab椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,( ,).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的
椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
xybKAB??1k?k??OMAB222(x,y)ba，AB是椭圆a的不平行于对称轴的弦，M00为AB的中点，则即x0xy0yx02y02x2y2?2?2?2?2?122P0(x0,y0)abab； ab若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是
【推论】：
222b2x0??2ay0。
x2y2x2y2x0xy0yx2y2?2?2?2?2?1?2?1222P0(x0,y0)bab。bb1、若在椭圆a内，则过Po的弦中点的轨迹方程是a椭圆a（a
＞b＞o）的两个顶点为
A1(?a,0)A2(a,0),
，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
x2y2?2?12b是a.
x2y2?2?12A(x0,y0)b2、过椭圆a (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线
kBCBC有定向且
b2x0?2ay0（常数）.
x2y2?2?12?PF1F2???PF2F1??b3、若P为椭圆a（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则
a?c???tancota?c22.
x2y2?2?12b4、设椭圆a（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，sin?c??e?F1PF2???PF1F2???F1F2P??a记, ,，则有sin??sin?.
x2y2?2?12b5、若椭圆a（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上
求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y2?2?12ab6、P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当
A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??122ab7、椭圆与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是
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高考数学圆锥曲线知识点总结
