高考数学第二轮专题复习函数与方程专题 一、高考大纲剖析：
2005年高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比： 在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如怎么说什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的运算、估值和近似的运算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的运算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”. 中心思想是要求考生能够“在运算当中，查找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.
在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用运算器解决解三角形的运算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有许多细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“把握”， 增加了“明白得直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，把握判定一些简单函数的奇偶性的方法” 的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.
在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给
出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2” ，这一改变为命题者对试卷难度的操纵提供了较大的空间.那个地点还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”， 去掉了去年 “以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度估量会有所提高.
二、高考试题研究：
纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.
(2004年，江苏卷8)若函数y?loga(x?b)(a?0,a?1)的图象过两点 (-1，0)和(0，1)，则
（A）a=2,b=2 （B）a=2 ,b=2 （C）a=2,b=1 （D）a=2 ,b=2
(2003年，江苏卷6)函数y?lnex?1,x?(0,??) （A）y?xe?1ex?1,x?(??,0) （C）y?xe?1x?1,x?(1,??)的反函数为 x?1ex?1,x?(0,??) （B）y?xe?1ex?1,x?(??,0) （D）y?xe?1
(2004年，江苏卷11)设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，
同时这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于
346
（A）3 （B） （C） （D）
235(2003年，江苏卷9)已知方程(x?2x?m)(x?2x?n)?0的四个根组
22成一个首项为
（A）1
1的等差数列，则 |m－n|= 431（B） （C）
423（D）
8(2004年，江苏卷13)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________________.
?2?x?1,x?0,?若f(x0)?1,则x0的取值范(2003年，江苏卷4)设函数f(x)??12?x?0.?x,畴是
（A）（－1，1）
（B）（－1，+∞）
（C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞） (2004年，江苏卷12)设函数f(x)??x(x?R)，区间M=[a，b](a （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）许多多个 (2003年，江苏卷1)假如函数y?ax2?bx?a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为 bbbb (A)(B)(C)(D)OaOaOaOa (2004年，江苏卷22)已知函数f(x)(x?R)满足下列条件：对任意的实数x1， 2x2都有 λ(x1?x2)?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)] 和f(x1)?f(x2)?x1?x2，其中λ是大于0的常数. 设实数a0，a，b满足 f(a0)?0和b?a?λf(a) （Ⅰ）证明λ?1，同时不存在b0?a0，使得f(b0)?0； 222（Ⅱ）证明(b?a0)?(1?λ)(a?a0)； 222（Ⅲ）证明[f(b)]?(1?λ)[f(a)]. (2003年，江苏卷22) 设a?0,如图，已知直线l:y?ax及曲线C：y?x2，C上的点Q1的横坐标为a1（0?a1?a）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于 x轴，交直线l于点Pn?1，再从点Pn?1作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1. Qn （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列?an?. （Ⅰ）试求an?1与an的关系，并求?an?的通项公式； （Ⅱ）当a?1,a1?11时，证明?(ak?ak?1)ak?2?； 322k?11(a?a)a?. ?kk?1k?23k?1nnyP1P2Q2Q3cQ1l （Ⅲ）当a=1时，证明 Ox三、高考命题展望： 由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依旧会围绕几个差不多初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查. 1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“把握判定一些简单函数的奇偶性的方法”这一考试要求，故而与函数的奇偶性有关的函数性质综合题应予以足够的关注. 1例1.设f(x)(x?R)为奇函数，f(1)?,f(x?2)?f(x)?f(2).则f(5)? 25(A)0 (B)1 (C) (D)5 2例2.已知定义域为(??,0)?(0,??)的函数f(x)是偶函数，同时在(??,0)上是增函数，若f(?3)?0，则 x?0的解集是 f(x)(A)(?3,0)?(0,3) (B)(??,?3)?(0,3) (C)(??,?3)?(3,??) (D)(?3,0)?(3,??) 例3.函数f(x)的定义域为R,且f(x?1)为奇函数，当x?1时， f(x)?2x2?x?1.则当x?1时，f(x)的单调减区间为 5577(A)[,??) (B)(1,] (C)[,??) (D)(1,] 4444例4. 已知函数f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?3x?1，设f(x)的反函数是y?g(x)，则g(?8)? 例5.假如函数f(x)?(x?a)3对任意实数t，都有f(1?t)??f(1?t)，则 f(2)?f(?2)? 2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个差不多初等函数，并通过这几个
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