直线与圆锥曲线的位置关系 【背一背重点知识】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲
??Ax＋By＋C＝0，
线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即?
??Fx，y＝0，
消去y后得ax2＋bx＋c＝0.通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示。 方程ax2＋bx＋c＝0的解. a＝0 b=0 b≠0 ZXXK][来源学科网交点个数 [来源学*科*网][来源学科网ZXXK]l与C的关系 相交 无解（含双曲线的渐近线） 有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线） 无公共点 一个交点 源:Z*xx*k.Com][来 a≠0 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 两个不等的解 两个不等的解 无实数解 两个交点 一个交点 无公共点 相交 相切 相离 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算：
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x1
2＋
y2－y12＝1＋k2|x1－x2|＝
11＋2·|y－y|.（抛物线k12
的焦点弦长
2p
|AB|＝x1＋x2＋p＝2，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
sinθ【讲一讲提高技能】
1、 利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数
利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。
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1
例1【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理】已知F1(?1,0)、F2(1,0)，圆F2：
(x?1)2?y2?1，一动圆在y轴右侧与y轴相切，同时与圆F2相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C，曲线E是以F1，F2为焦点的椭圆．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与曲线E相交于第一象限点P，且PF1?7，求曲线E的标准方程； 3（3）在（1）、（2）的条件下，直线l与椭圆E相交于A，B两点，若AB的中点M在曲线C上，求直线l的斜率k的取值范围．
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2
16k(3?4k2)3m4km2将M(?,)代入y?4x 整理得m?? ②…10分
93?4k23?4k2将②代入①得16k3?4k 令
22?2??81
3 8t?4k2?t?0?则64t2?192t?81?0 ?0?t?66?k?且k?0 ………12分 88??2、利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题
当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝ 而|x1－x2|＝
x1＋x2
1
1＋2|y1－y2|，k
2－4xx，利用根12可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，
与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解． 例2【湖北省2014届孝感高中、黄冈中学等八所重点中学高三联考】已知椭圆C：
（1） 求椭圆C的方程；
（2） 设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
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3、利用点差法求解圆锥曲线问题
点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的。点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换。 例3【河南省豫东、豫北十所名校2014届高三上学期第四次联考试题】 在平面直角坐标系xOy中，已知
x2y2椭圆C:2?2?1(a?b?0)与直线l:x?m(m?R),四点(3,?1),(?22,0)，(?3,1)，
ab（?3,?3）中有三个点在椭圆C上，剩余一个点在直线l上． (I)求椭圆C的方程；
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(Ⅱ)若动点P在直线l上，过P作直线交椭圆C于M，N两点，使得PM?PN，再过P作直线l'?MN.证明直线l'恒过定点，并求出该定点的坐标．
分析：由椭圆的的性质可判断出点的位置，并求出椭圆的方程；利用点差法表示出直线 MN的斜率，由l'?MN得出直线l'的斜率，从而写出直线l'的方程，通过直线方程求出定点坐标。
【练一练提升能力】
x2y23
1. 【山东省青岛一中2013届高三上学期调研考试】已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆ab2的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程．
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(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜
5角；
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专题05解析几何解答题(综合篇)-2014年高考数学备考中等生百日捷进提升系列(解析版)
