v1.0 可编辑可修改 质点的运动函数为 x?2ty?4t?5式中的量均采用SI单位。 （1）求质点运动的轨道方程；
（2）求t1?1s和t2?2s时，质点的位置、速度和加速度。
解（1）消去运动函数中的t，可得轨道方程为
2
y?x2?5
可见质点沿一抛物线运动。 （2）质点的位矢为
r?2ti?(4t2?5)j
速度和加速度分别为
v?和
dr?2i?8tj dtdv?8j dta?当t?1s和t?2s时，质点的位置分别为
r?2i?9j 和 r?4i?21j
速度分别为
v?2i?8j 和 v?2i?16j
而加速度都是a?8j。
一质点由静止开始沿直线运动，初始时刻的加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过?秒增加a0，求经过t秒后该质点的速度和运动的路程。
解 质点的加速度每秒钟增加a0?，加速度与时间t的关系为
a?a0?1
a0?tt?(1?)a0
?v1.0 可编辑可修改 因此，经过t秒后质点的速度为
t?v??adt?a0??1??00?质点走过的路程为
tta02?dt?at?t ?02???t2S??vdt?a0???t?2?00??1tt?a0t2a0t3??dt?2?6? ??1如图所示，在以3m?s的速度向东航行的A船上看，B船以4m?s的速度从北面驶向A船。在湖岸上看，B船的速度如何
4m/s vA? 3m/s 东
vBA 南
vB图习题用图 (教材图
解 按速度的变换关系，B船相对湖岸的速度为
vB?vBA?vA
如图所示，其大小为
22vB?vBA?vA?42?32?5m?s?1
与正南方向的夹角为
??tan?1???36?52?
即在湖岸上看，B船沿向南偏东3652?的方向以速度5m?s航行。
设有一个质量为m的物体，自地面以初速v0竖直向上发射，物体受到的空气阻力为
??1?3??4?f??Av，其中v是物体的速率，A为正常数。求物体的速度和物体达到最大高度所需时
间。
2
v1.0 可编辑可修改 解 取竖直向上为y轴方向，物体的运动方程为
?mg?Av?m写成分离变量形式
dv dtdvA??dt mgmv?A设在时刻t物体的速度为v，则有
dvA??dt ??mgmv0v?0A得
vt?v?mgA?A?ln???t ?v?mgA?m?0?因此，物体的速度为
mg?v??v0?A???Atmmg? ?eA?因为达到最大高度时v?0，所以物体达到最大高度所需时间为
T?Av0?m?v0?mgA?m????ln??ln1?? ?A?A?mgAmg????一质量为m的船，在速率为v0时发动机因故障停止工作。若水对船的阻力为f??Av，其中v是船的速率，A为正常数，试求发动机停止工作后船速的变化规律。
解 取船水平前进方向为x轴方向，发动机停止工作后船的运动方程为
?Av?m写成分离变量形式为
dv dtdvA??dt vm设在时刻t物体的速度为v，则有
dvA??dt ??vm0v0vt3
v1.0 可编辑可修改 得
?vln??v?0因此，船速的变化规律为
?A???t ?m?v?v0e?Atm
如图所示，绳子一端固定，另一端系一小球，小球绕竖直轴在水平面上做匀速圆周运动，这称为圆锥摆。已知绳长为L，绳与竖直轴的夹角为?，求小球绕竖直轴一周所需时间。
? L T ? R v mg 图习题用图 (在教材图上加)
解 如图所示，对小球沿指向圆心方向和沿竖直向下方向列运动方程
v2Tsin??mRmg?Tcos??0解出小球沿圆周运动的速率为
v?TRsin??mmgRsin??mcos?gRtan?
小球绕竖直轴一周所需时间为
??把R?Lsin?代入，得
2?R?v2?RgRtan??2?R
gtan?4
v1.0 可编辑可修改 ??2?Lcos? g可以看出，?只与L,g,?有关，与小球质量无关。
在如图所示的系统中，滑轮可视为半径为R、质量为m0的均质圆盘，滑轮与绳子间无滑动，水平面光滑，若m1?50kg，m2?200kg，m0?15kg,R?0.10m，求物体的加速度及绳中的张力。
解 将体系隔离为m1，m0，m2三个部分，对m1和m2分别列牛顿方程，有
图习题用图 T2 T2 m2g m2g?T2?m2a T1?m1a
T2R?T1R?因滑轮与绳子间无滑动，则有运动学条件
1MR2? 2a??R
联立求解由以上四式，可得
??m2g1???m1?m2?M?R2??
由此得物体的加速度和绳中的张力为
5
大学物理复习资料,很多题~
