全等三角形的经典模型（一）
题型一：等腰直角三角形模型
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等腰直角三角形数学模型思路：
⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45?，45?）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.
CC
45°45°BA ADB
图1 图2
图3 图4
典题精练
【例1】 已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，?BAC?90°，O为BC的中点，
B⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要
求证明）
⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论. N⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保
A持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA=OB=OC
⑵连接OA,
∵OA=OC ?BAO??C?45° AN=CM ∴△ANO≌△CMO
∴ON=OM
∴?NOA??MOC
∴?NOA??BON??MOC??BON?90? ∴?NOM?90?
∴△OMN是等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点 ∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°， ∴AO=BO=OC，
∵在△ANO和△CMO中， ?AN?CM???BAO??C ?AO?CO?BOMCONACMNBO∴△ANO≌△CMO（SAS） ∴ON=OM，∠AON=∠COM， 又∵∠COM?∠AOM=90°， ∴△OMN为等腰直角三角形．
【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，如
图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的
中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
【解析】△EMC是等腰直角三角形． 证明：连接AM．由题意，得
DE?AC,?DAE??BAC?90,?DAB?90. ∴△DAB为等腰直角三角形. ∵DM?MB，
MACMDBEACMDBEAC
∴MA?MB?DM,?MDA??MAB?45． ∴?MDE??MAC?105， ∴△EDM≌△CAM．
∴EM?MC,?DME??AMC．
又?EMC??EMA??AMC??EMA??DME?90． ∴CM?EM，
∴△EMC是等腰直角三角形．
【例3】 已知：如图，△ABC中，AB?AC，?BAC?90°，D是AC的中
点，AF?BD于E，交BC于F，连接DF． 求证：?ADB??CDF． B【解析】 证法一：如图，过点A作AN?BC于N，交BD于M．
∵AB?AC，?BAC?90°， ∴?3??DAM?45°．
∵?C?45°，∴?3??C．
∵AF?BD，∴?1??BAE?90°
∵?BAC?90°，∴?2??BAE?90°． ∴?1??2．
在△ABM和△CAF中， ??1??21?B?AB?AC ??3??C?
∴△ABM≌△CAF．∴AM?CF． 在△ADM和△CDF中， ?AD?CD???DAM??C ?AM?CF?∴△ADM≌△CDF． ∴?ADB??CDF．
证法二：如图，作CM?AC交AF的延长线于M． ∵AF?BD，∴?3??2?90°， ∵?BAC?90°， ∴?1??2?90°， ∴?1??3．
在△ACM和△BAD中， ??1??3? ?AC?AB??ACM??BAD?90°?∴△ACM≌△BAD．
∴?M??ADB，AD?CM ∵AD?DC，∴CM?CD． 在△CMF和△CDF中，
ADEFCA32MENFDCA21EB3FMDC
?CF?CF???MCF??DCF?45° ?CM?CD?∴△CMF≌△CDF．∴?M??CDF ∴?ADB??CDF．
【例4】 如图，等腰直角△ABC中，AC?BC，?ACB?90°，P为△ABC内部一点，满足 PB?PC，AP?AC，求证：?BCP?15?．
A
DA
PP
BC
BC
【解析】 补全正方形ACBD，连接DP，
易证△ADP是等边三角形，?DAP?60?，?BAD?45?， ∴?BAP?15?，?PAC?30?，∴?ACP?75?， ∴?BCP?15?．
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：
【探究一】证角等
【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交
BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．
AEBDMCBAEDM12NC
【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，
∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，
易证Rt△ABM ≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM， ∵M为AC中点，∴CM=CN，
F
∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND， ∴∠CND=∠CMD， ∴∠AMB=∠CMD．
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交
NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．
AFDMBNECBAFDMNECKH
【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，
可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K， ∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK， ∴∠ADB=∠CKN，CK=AD， ∵AD=EC，∴CK=CE，
易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN，
易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．
【探究三】利用等积变形求面积 【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，
CF=3，求S矩形DFAE．
NBBGDEMDFECFACA
【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，
可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M， 可知DN=EB=4，DM=FC=3， 由正方形对称性质，
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=3?4=12．
【探究四】求线段长
【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．
等腰直角三角形模型、三垂直模型
