2024年新高考数学总复习第24讲：三角恒等变换的应用
1．【多选题】已知α为三角形内角，且满足cos2α＝sinα，则α的值可以是( ) A．30° C．60° 答案 AD
cos10°2．(2024·湖北鄂南高中月考)4sin80°－＝( )
sin10°A.3 C.2 答案 B 解析
4sin80°－
cos10°4sin80°sin10°－cos10°2sin20°－cos10°
＝＝＝
sin10°sin10°sin10°
B．－3 D．22－3 B．135° D．150°
2sin（30°－10°）－cos10°
＝－3.故选B.
sin10°ππ37
3．若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ等于( )
4283
A. 5C.7 4
4B. 53D. 4
答案 D
πππ
解析 因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin22θ＝－
4221193
.又因为cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，sinθ＝.故选D. 88164π
tan（＋α）·cos2α
4
4．(2024·河北邯郸一中模拟)计算的值为( )
π
2cos2（－α）
4A．－2 C．－1 答案 D
ππtan（＋α）·cos2αsin（＋α）·cos2α
44
解析 ＝＝
πππ22
2cos（－α）2sin（＋α）cos（＋α）
444
B．2 D．1
第 1 页 共 7 页
cos2αcos2αcos2α＝＝＝＝1，选D.
ππππcos2α2sin（＋α）cos（＋α）sin2（＋α）sin（＋2α）
4442cos2α15．若＝，则sin2α的值为( )
2π
sin（α＋）
47A．－
84C．－
7答案 B
cos2αcos2α－sin2α12
解析 ＝＝2(cosα－sinα)＝，即cosα－sinα＝，
24πππ
sin（α＋）sinαcos＋cosαsin
44417
等式两边分别平方得cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－sin2α＝，解得sin2α＝. 88π3π
6．对于锐角α，若sin(α－)＝，则cos(2α＋)＝( )
125324
A. 25C.2 8
3B. 824D．－
257B. 84D. 7
cos2α
答案 D
π3π4πππ
解析 由α为锐角，且sin(α－)＝，可得cos(α－)＝，则cos(α＋)＝cos[(α－)＋]
1251256124ππππ4ππ2322
＝cos(α－)cos－sin(α－)sin＝×－×＝，于是cos(2α＋)＝2cos2(α＋)
12412452521036－1＝2×(
2224
)－1＝－，故选D. 1025
ππsin2α－2cos2α1
7．已知tan(α＋)＝－，且<α<π，则的值等于( )
422π
sin（α－）
425A.
525C．－
5答案 C
sin2α－2cos2α2sinαcosα－2cos2απtanα＋11解析 ＝＝22cosα，由tan(α＋)＝－，得
42π1－tanα2
sin（α－）（sinα－cosα）42π1
＝－，解得tanα＝－3.因为<α<π，所以cosα＝－
22
第 2 页 共 7 页
35B．－ 10310D．－
10
＝－tan2α＋1
110.所以原式＝2210
cosα＝22×(－
1025)＝－.故选C. 105
α
8．(2024·福建省百校临考冲刺)若α∈(0，π)，且3sinα＋2cosα＝2，则tan＝( )
2A.3 2
B.3 4
23C. 3答案 A
解析 方法一：由已知得cosα＝1－
3
sinα. 2
43D.
3
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－
3
sinα)2＝1， 2
743整理得sin2α－3sinα＝0，解得sinα＝0或sinα＝.
47433431因为α∈(0，π)，所以sinα＝，故cosα＝1－×＝.
727743
7sinαα3
所以tan＝＝＝.故选A.
21＋cosα12
1＋7
ααα
方法二：因为sinα＝2sin·cos，cosα＝1－2sin2，
222
ααα
所以3sinα＋2cosα＝2可以化为23sin·cos＋2(1－2sin2)＝2，
222ααα
化简可得23sin·cos＝4sin2.①
222
παα
因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，所以sin≠0.
222ααα3所以①式可化为23cos＝4sin，即tan＝.故选A.
22229．计算：(1)
3tan10°－1
＝________．
sin10°
3－sin70°(2)＝________． 2－cos210°
3tan12°－3
(3)＝________． （4cos212°－2）sin12°答案 (1)－4 (2)2 (3)－43
3sin10°
－1
cos10°3sin10°－cos10°2sin（10°－30°）－2sin20°
解析 (1)原式＝＝＝＝＝
11sin10°sin10°cos10°
sin20°sin20°22
第 3 页 共 7 页
2024年新高考数学总复习第24讲：三角恒等变换的应用
