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空间角
1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0,?] 2几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD?A?B?C?D?中，E是AB的中点，
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（1）求BA与CC夹角的度数.
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（2）求BA与CB夹角的度数．
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(3)求AE与CB夹角的余弦值．
例2：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a的平行线。
解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35，
cos∠DB1E=
734 170解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，
∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=
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734 170.
课堂思考：
1.如图，PA?矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
D1jC1D
A
B
A1C
DB1CAB2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.
例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.
例3题图
课堂练习
如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中， （1） 求直线AB和CE 所成的角的余弦值。 （2） 求直线AF和CE 所成的角的余弦值。
.;
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二、线面角
1、线面角的范围：θ∈[0，2、线面角的求法
1）解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角．在某一直角三角形内求解．
2）线面角的求法还可以不用做出平面角．可求出线上某点到平面的距离d，利用sinα＝可求.
直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。
例1 （ 如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点， 求（1）BC与平面SAB所成的角。 （2）SC与平面ABC所成的角。 解:（1） ∵SC⊥SB,SC⊥SA,
Cπ]． 2
dABHSMAB图1
∴SC⊥平面SAB 故 SB是斜线BC 在平面SAB上的射影， ∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM，则SM⊥AB,
又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM, ∴面ABC⊥面SCM
过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC ∴CH即为 SC 在面ABC内的射影。 ∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。 sin ∠SCH=SH／SC
∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7
（“垂线”是相对的，SC是面 SAB的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sinθ=h／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。
例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面 AB1C1D 所成的角。 解：设点 B 到AB1C1D的距离为h,
∵VB﹣AB1C1=VA﹣BB1C1∴1／3 S△AB1C1·h= 1／3 S△BB1C1·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为θ,则sinθ=h／AB=4／5
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异面直线的夹角,线面角(含答案)
