圆锥曲线的定点与定值
3x2y2O(0,0)，例1已知椭圆C：2?2?1 （a?b?0）的离心率为 ，A(a,0)，B(0,b)，
2ab?OAB的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N. 求证：AN?BM为定值.
x2?y2?1；【答案】（1）（2）详见解析. 4x2y2例2已知椭圆E：2?2?1(a?b?0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个
ab顶点，直线l:y??x?3与椭圆E有且只有一个公共点T. （Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数?，使得PT2??PA?PB，并求?的值.
x2y24??1，点T坐标为（2,1）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）??. 635
x2y232【例3】已知椭圆2+2=1（a>b>0）的离心率为，且过点（2，).
ab22（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线：y?kx?m(k?0)，与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k?k1?k2，试问：当变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.
x2?y2?1.；【答案】（1）（2）当变化时，m2为定值. 4例4 在直角坐标xOy平面内，已知点F(1,0)，直线l:x??1，P为平面上的动点，过P作直线的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ.(1)求动点P的轨迹?的方程；
(2)过点F的直线交轨迹?于A,B两点,交直线于点M,已知
MA??1AF,MB??2BF,,试判断?1??2是否为定值,若是,求出该定值；若不是，请
说明理由.
【答案】(1) y?4x；(2) ?1??2?0，理由见解析．
2x2y23【例5】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，其左右焦点分别为F1、
ab2F2，F1F2?23，设点M(x1,y1)，N(x2,y2)是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点
的连线的斜率之积?122．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：x1为定值，并求该定值． ?x24x2?y2?1；【答案】（1）（2）见解析. 4例6已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线y2?45x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得PM始终平分?APB？若存在求出P点坐标；若不存在请说明理由．
x2y29??1；【答案】（1）（2）存在定点P使得PM平分?APB，坐标为(,0). 942
x2y2例7，已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角
ab形，直线3x?4y?6?0与圆x2??y?b??a2相切. （1）求椭圆C的方程;
（2）已知椭圆C的左顶点A的两条直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点,且l1?l2,求证:直线MN过定点,并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下求?AMN面积的最大值.
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定点与定值
