射，也就是说，鱼可能“消失”的位置范围是
解题图13b所示的阴影区 ? 现考虑观察者的观测位置范围。在解题图13c中，假设鱼所在位置N到球心的距离b满足
3 r?b?r?37.5cm， ?
4即在解题图13b的阴影之内。由以上讨论知，从N发出的垂直于ON的光线NA的入射角必大于水相对于空气的全反射临界角C；且该入射角为极大值，光线NA两侧的入射光线NB、ND等的入射角都小于NA的入射角。
进而，当NB、ND的入射角都等于全反射临界角C时，NB、ND之间的所有入射光线的入射角都大于全反射临界角，而发生全反射。NB、ND分别对应临界的折射光线BB?、DD?。所以，当观察者的眼睛处于解题图13c所示的BB?、DD?之间的阴影区域时，就看不到位于N点的鱼。再考虑球的对称性，将解题图13c绕ON轴旋转一周，则眼睛看不到N点的鱼时应选取的观测位置范围是 解题图13c的阴影区域的集合 ?
由以上讨论可知，鱼在鱼缸中“消失”需要两个条件：一是鱼要相对靠近鱼缸内壁，二是要选择合适的观察位置。
评分标准：本题20分。第（1）问3分，①②③式各1分（用其它方法得到正确结果的，同样给分）。 第（2）问17分，④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分，⑩???各2分（图示定性正确）。 14.
（1）由题意知，为使球磨机正常工作，钢球不能处于离心状态。即在钢球上升至其最高点点处满足
mg?m?2R ① 由此得，球磨机正常工作时圆筒转动的角速度范围为 0???g ② R（2）为使钢球对矿石的冲击作用最大，钢球应在圆筒某横截面上处于抛落状态。假设钢球被提升至O点时，小球刚好脱离筒壁作抛体运动。此时，筒壁对钢球的正压力为零，由牛顿第二定律有 V2 mgcos??m ③ R式中，
?是O点相对于它所在横截面中心C的矢径与竖直方向的夹角，V是钢球在O点抛落时的速度（见解题图14a）。由③式得 V?gRcos? ④ 球脱离筒壁作抛体运动，在以O为原点坐标系中有 ?Xtan??gX2Y 2V2cos2? ?Xtan??X2 ⑤ 2Rcos3?钢球所在的圆筒截面的圆周方程为
解题图14a
（X?Rsin?)2?(Y+Rcos?)2?R2 ⑥
方程组⑤⑥有两个解，其一为(0,0)，这是抛出点O的坐标；其二是球的落点A的坐标
XA?4Rsin?cos2? Y??4Rcos?sin2? ⑦
A钢球在A点的速度为
vx?Vcos?, v?2gH?3Vsin? ⑧ y式中，H是钢球做抛体运动的最高点相对于A点的高度 H?V2sin2?2g?Y?9A2Rcos?sin2? 设A点相对于C点的矢径与水平方向的夹角为?，则由几何关系有 sin??|YA|?Rcos?R?(4sin2??1)cos? 同理有 cos??XA?Rsin?R?(4cos2??1)sin? 由⑧⑩式得，钢球在A点垂直于筒壁的速度（打击附在筒壁上的矿粉的速度）为
vn?vxcos??vysin??8Vsin3?cos? 由④?式得
⑨ ⑩ ?
42vn?8gR??sin?(1?sin?)??3/49/4?sin2?sin2??23 ?162gR?(1?sin?)?22?? 9/4?94? ?sin2?sin2??2??(1?sin?)??2 ?162gR?2?3???式中的等号当且仅当 ?16?32gRsin2??(1?sin2?) 2时成立，于是有 ??arcsin6? 3 这时，由?式知，小球的径向速度最大，即小球对矿石的冲击作用最大。 [或： 要使小球对矿石的冲击作用最大，必须使小球的径向速度最大，即 dvn?6Rgsin2?cos?(1?3cos2?)?0， ? d?解得 ??arcsin] 此时，圆筒的角速度为 6 ? 3??钢球对矿石的冲击功为 gcos??1/4gg ? =3?0.7598RRR12W?mvn?32mV2sin6?cos2??32mgRsin6?cos3? ? 2将?式代入?式得，钢球对矿石的最大冲击功为 Wmax?2563mgR=1.8247mgR ? 243评分标准： 本题20分，第（1）问3分，①式1分，②式2分；第（2）问17分，③④⑤⑥式各1分，⑦⑧式2分，⑨⑩式各1分，?式2分，?????式各1分。
15.
（1）对b棒，由能量守恒，可得弹簧的弹性势能为
Ep?12， ① Mv02由右手定则知，a棒中电流的方向：
从上端流向下端。 ② （2）b棒与a棒相碰撞前后，由动量守恒知
Mv0?(M?m)v ③ 由题意，系统的总动能全部转化为电路产生的总的焦耳热Q总
1(M?m)v2?Q总。 ④ 2Q总和a棒产生的焦耳热Q满足
Q总?r?R， Q?r 因而
Q?联立③④⑤式得
rQ总， ⑤ r?R2rM2v0 ⑥ Q?2(r?R)(M?m)（3）若a棒向左滑行的距离?x通过定值电阻的电量为
?q?I?t， ⑦ 式中I是时刻t的回路电流
BLv? ⑧ R?r
式中，v?是t时刻a棒的滑行速度。由⑦⑧式得
I?BLBL⑨ v??t??xR?rR?r
因此，将⑨式两边求和得，a棒向左滑行的距离x的过程中通过定值电阻的电量为
?q?q?
BLx ⑩ R?r
评分标准：本题20分，第（1）问3分，①式2分，②式1分；第（2）问8分，③④⑤⑥式各2分；第（3）问9分，⑦式2分，⑧式3分，⑨⑩式各2分。 16.
（1）设电磁铁磁场的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为v1，电磁铁的L1边切割磁力线产生
的感应电动势E1和感应电流I1分别为
E1?B1L1v1 ①
I1?E1, ② R1电磁铁受到的安培力F安产生的加速度a满足
F安?B1I1L1?m1a ③
由①②③式和题给数据得，模型车的速度为
R1m1a v1?22?5.00 m/s ④
B1L1（2）模型车由v0减速到v1过程中，做匀减速运动，由运动学公式有
22v0?v1 x1??93.8m ⑤
2a 在磁感应强度达到最大后，模型车速度为v时，其所受到的安培力的大小为:
2B12L1vF?. ⑥
R1对模型车从速度为v1开始减速至停止运动的制动过程，应用动量定理得
由⑥⑦式得
?F?t?mv, ⑦
112B12L1v?t?m1v1 ⑧ ?R1由⑧式和题给数据得
x2??v?t?m1R1v1?12.5m ⑨ 2B12L1模型车的制动距离为
x?x1?x2?106.3 m ⑩
评分标准：本题20分，第（1）问8分，①②③④式各2分；第（2）问12分，⑤⑥⑦⑧⑨⑩式各2分（采用其它解法得出正确结果的，同样给分）。
2020年第37届全国中学生物理竞赛预赛试题
